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Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Funções com Descontinuidade

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Enunciado

Seja a > 0

(b) Determine o valor de a para que ∫ 0 a x ln ⁡ a x d x = 1

Passo 1

Reescrever o enunciado

O enunciado tem uma pegadinha nos limites de integração: tem um 0 ali! Como a integral é a área abaixo do gráfico de x ln ⁡ a x entre os pontos dos limites de integração, pra gente fazer direto a integral a função tem que estar definida nesses pontos, beleza? Como não está, vamos reescrever o enunciado pra algo que funcione:

∫ 0 a x ln ⁡ a x d x =   lim t → 0 + ⁡ ∫ t a x ln ⁡ a x d x

Passo 2

Escolher o método de integração

Integral de algo com ln ⁡ x sempre assusta né? Mas relaxa que vou te passar o bizu: sempre que vier algo assim, tenta integração por partes! Isso porque quando fazemos esse método, acabamos por sumir com o l n de dentro da integral. Vamos então escolher

d v = x d x → v = x 2 2

u = ln ⁡ a x → d u = x a - a x 2 d x

∫ x ln ⁡ a x d x = ∫ u d v = u v -   ∫ v d u

Passo 3

Resolver a integral indefinida

Agora é trabalho braçal mesmo. Vamo que Vamo:

∫ x ln ⁡ a x d x = x 2 2 ln ⁡ a x -   ∫ x 2 2 x a - a x 2 d x

∫ x ln ⁡ a x d x = x 2 2 ln ⁡ a x +   1 2 ∫ x d x

∫ x ln ⁡ a x d x = x 2 2 ln ⁡ a x + x 2 4

Passo 4

Aplciar os limites de integração

Pronto, achamos o resultado da integral! Falta agora, antes de aplicar o limite t → 0 + , aplicar os limites de integração a e t . Então simbora:

∫ t a x ln ⁡ a x d x = x 2 2 ln ⁡ a x + x 2 4 x = t x = a

∫ t a x ln ⁡ a x d x = a 2 2 ln ⁡ a a + a 2 4 - t 2 2 ln ⁡ a t - t 2 4

∫ t a x ln ⁡ a x d x = a 2 4 - t 2 2 ln ⁡ a t - t 2 4

Passo 5

Realizar o limite t → 0 +

Calma que ta acabando, esse é o último passo. Vamos então aplicar o limite. Vamos ter:

∫ 0 a x ln ⁡ a x d x =   lim t → 0 + ⁡ ∫ t a x ln ⁡ a x d x

Então:

∫ 0 a x ln ⁡ a x d x =   lim t → 0 + ⁡ a 2 4 - t 2 2 ln ⁡ a t - t 2 4

∫ 0 a x ln ⁡ a x d x =   a 2 4 - lim t → 0 + ⁡ t 2 2 ln ⁡ a t -   lim t → 0 + ⁡ t 2 4

∫ 0 a x ln ⁡ a x d x =   a 2 4 - lim t → 0 + ⁡ t 2 2 ln ⁡ a t

Vamos só antes de fechar resolver por L’Hospital o limite que sobrou:

lim t → 0 + ⁡ t 2 2 ln ⁡ a t =   lim t → 0 + ⁡ ln ⁡ a t 2 t 2 = lim t → 0 + ⁡ t a - a t 2 4 t 3

lim t → 0 + ⁡ t 2 2 ln ⁡ a t = lim t → 0 + ⁡ - 1 t 4 t 3 = lim t → 0 + ⁡ - 1 t t 3 4 = lim t → 0 + ⁡ - t 2 4 = 0

Sendo assim:

∫ 0 a x ln ⁡ a x d x =   a 2 4

Passo 6

Achar a

Aee último passo!! Vamos lembrar que o enunciado quer:

∫ 0 a x ln ⁡ a x d x =   1

E nós obtivemos:

∫ 0 a x ln ⁡ a x d x =   a 2 4

Eita! Só igualar agora? Claro! Igualando então vamos ficar com:

a 2 4 = 1 → a = ± 2

Mas como o enunciado disse que a > 0 , ficamos finalmente com:

a = 2

Resposta

a = 2

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