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Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Funções com Descontinuidade

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Enunciado

Calcule a integral:

∫ - 2 2 ln ⁡ x d x

Justifique todas as igualdades.

Passo 1

Em primeiro lugar, vamos tomar cuidado aqui! Veja só que o ln ⁡ x , possui uma indeterminação em x = 0 , então temos que dividir essa integral em duas considerando essa indeterminação: ∫ - 2 2 ln ⁡ x d x = ∫ - 2 0 ln ⁡ x d x + ∫ 0 2 ln ⁡ x d x

Da mesma forma ln ⁡ x é uma função par, logo:

∫ - 2 0 ln ⁡ x d x = ∫ 0 2 ln ⁡ x d x

Podendo escrever:

∫ - 2 2 ln ⁡ x d x = 2 ∫ 0 2 ln ⁡ x d x

Passo 2

Show! Como tempos uma indeterminação em x = 0 , temos que substituir por uma variável e aplicar o limite:

∫ 0 2 ln ⁡ x d x = lim a → 0 ⁡ ∫ a 2 ln ⁡ x d x

Feito isso, vamos calcular a integral e depois substituí-la no limite. Para tal, podemos usar a integração por partes. Seguindo o LIATE, temos:

u = ln ⁡ x v = x d u = 1 x d x d v = d x

Pela fórmula geral:

∫ a b u d v = u v a b - ∫ a b v d u

Ou seja:

∫ a 2 ln ⁡ x d x = x ln ⁡ x a 2 - ∫ a 2 d x = 2 ln ⁡ 2 - a ln ⁡ a - 2 + a = 2 ln ⁡ 2 - 1 + a 1 - ln ⁡ a

Passo 3

Calculada a integral, aplicamos o limite:

∫ 0 2 ln ⁡ x d x = lim a → 0 ⁡ ∫ a 2 ln ⁡ x d x = l i m a → 0 2 ln ⁡ 2 - 1 + a 1 - ln ⁡ a

= 2 ln ⁡ 2 - 1 + l i m a → 0 a 1 - ln ⁡ a

Vamos calcular esse limite. Veja que temos a indeterminação “ 0 ⋅ ∞ ” que é uma das indeterminações típicas de L’Hôpital. Para aplicá-lo, vamos jogar o a para baixo dividindo:

l i m a → 0 a 1 - ln ⁡ a = l i m a → 0 1 - ln ⁡ a 1 / a  

Agora temos a indeterminação “ ∞ / ∞ ” e podemos aplicar a técnica derivando em cima e embaixo:

l i m a → 0 1 - ln ⁡ a 1 / a = l i m a → 0 1 - ln ⁡ a ' 1 / a ' = l i m a → 0 - 1 / a - 1 / a 2 = l i m a → 0 a = 0

Passo 4

Assim sendo, temos que:

∫ 0 2 ln ⁡ x d x = 2 ln ⁡ 2 - 1 + l i m a → 0 a 1 - ln ⁡ a = 2 ln ⁡ 2 - 1

Ou seja:

∫ - 2 2 ln ⁡ x d x = 2 ∫ 0 2 ln ⁡ x d x = 4 ln ⁡ 2 - 1

Resposta

∫ - 2 2 ln ⁡ x d x = 4 ln ⁡ 2 - 1

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