Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Funções com Descontinuidade

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Enunciado

Determine se as integrais abaixo são divergentes ou convergentes e calcule o valor daquelas que forem convergentes:

b   ∫ 1 e d x x ln ⁡ x 3

Passo 1

O intervalo [ 1 , e ] da integral acima tem apenas uma indeterminação no ponto x = 1 . Vamos, ao invés de tentar provar que ela é ou não convergente, integrar de primeira. Convergindo, ótimo. Caso, não, saberemos que ela é divergente. Vou usar uma substituição que vai dar uma boa simplificada:

u = ln ⁡ x ; d u = d x x

u = ln ⁡ 1 = 0 ; u = ln ⁡ e = 1

∫ 1 e d x x ln ⁡ x 3 = ∫ 0 1 u - 1 3 d u

Agora aplicamos o limite indo para o ponto de interesse:

lim b → 0 ⁡ ∫ b 1 u - 1 3 d u = lim b → 0 ⁡ 3 2 1 2 3 - b 2 3

Bom, dá para substituir direto.

= 3 2

Logo, a integral é convergente!

Resposta

∫ 1 e d x x ln ⁡ x 3 = 3 2   ,       c o n v e r g e n t e

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Explique por que cada uma das seguintes integrais é imprópria. ∫ 1 ∞ x 4 e - x 4 d x ∫ 1 π 2 sec ⁡ x d x ∫ 0 2 x x 2 - 5 x + 6 d x ∫ - ∞ 0 1 x 2 + 5 d x
Calculeb)int_(- 1)^3 f (x) d x ondef (x) = {[[1 s e - 1 = x0],[x^2 s e 0x2],[0 s e 2 = x = 3]])