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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

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Enunciado

Passo 1

Bom, a questão quer que a gente mostre que essa equação

w x 2 + w y 2 = w r 2 + w θ 2 r 2

Que envolve derivadas parciais é verdadeira.

Só que essas não são quaisquer derivadas parciais. Elas são derivadas parciais de uma função composta, porque

w = f ( x , y )

x = x r , θ = r cos ⁡ θ

y = y r , θ = r sen ⁡ θ

Então pra achar essas derivadas parciais e provar o que a questão pede, precisaremos usar a regra da cadeia.

Para derivada de w em relação a r :

∂ w ∂ r = ∂ w ∂ x ∂ x ∂ r + ∂ w ∂ y ∂ y ∂ r

E para a derivada de w em relação a θ :

∂ w ∂ θ = ∂ w ∂ x ∂ x ∂ θ + ∂ w ∂ y ∂ y ∂ θ

Passo 2

Vamos, então, calcular o gradiente de w ( x , y ) .

Opa, mas pera aê, a gente não sabe a expressão de w . Então, o que vai acontecer é que vamos deixar as derivadas parciais de w somente indicadas. Assim:

δ w δ x = w x

δ w δ y = w y

Passo 3

Ok, agora vamos calcular o gradiente de x :

x r , θ = r cos ⁡ θ

δ x δ r = cos ⁡ θ

δ x δ θ = - r sen ⁡ θ

Passo 4

E o gradiente de y :

y r , θ = r sen ⁡ θ

δ y δ r = sen ⁡ θ

δ y δ θ = r cos ⁡ θ

Passo 5

Perfeito! Conseguimos tudo o que precisávamos. Agora é só pegar os valores encontrados e jogar nas fórmulas do passo 1 !

A derivada de w em relação a r :

∂ w ∂ r = ∂ w ∂ x ∂ x ∂ r + ∂ w ∂ y ∂ y ∂ r

∂ w ∂ r = w x ∙ cos ⁡ θ + w y ∙ sen ⁡ θ

E a derivada de w em relação a θ fica:

∂ w ∂ θ = ∂ w ∂ x ∂ x ∂ θ + ∂ w ∂ y ∂ y ∂ θ

∂ w ∂ θ = w x ∙ - r sen ⁡ θ + w y ∙ r cos ⁡ θ

∂ w ∂ θ = - r   w x ∙ sen ⁡ θ + r   w y ∙ cos ⁡ θ

Passo 6

Agora é só pegar essas derivadas parciais e substituir na equação do enunciado pra ver se vai dar bom:

w x 2 + w y 2 = w r 2 + w θ 2 r 2

w x 2 + w y 2 = w x ∙ cos ⁡ θ + w y ∙ sen ⁡ θ 2 + - r   w x ∙ sen ⁡ θ + r   w y ∙ cos ⁡ θ 2 r 2

w x 2 + w y 2 = w x 2 ∙ cos 2 ⁡ θ + 2 w x w y cos ⁡ θ sen ⁡ θ + w y 2 ∙ sen 2 ⁡ θ + r 2   w x 2 sen 2 ⁡ θ - 2 w x w y r 2 cos ⁡ θ sen ⁡ θ + r 2   w y 2 cos 2 ⁡ θ r 2

w x 2 + w y 2 = w x 2 ∙ cos 2 ⁡ θ + 2 w x w y cos ⁡ θ sen ⁡ θ + w y 2 ∙ sen 2 ⁡ θ + r 2 (   w x 2 sen 2 ⁡ θ - 2 w x w y cos ⁡ θ sen ⁡ θ +   w y 2 cos 2 ⁡ θ ) r 2

Cortando o r 2 do numerador e do denominador:

w x 2 + w y 2 = w x 2 ∙ cos 2 ⁡ θ + 2 w x w y cos ⁡ θ sen ⁡ θ + w y 2 ∙ sen 2 ⁡ θ +   w x 2 sen 2 ⁡ θ - 2 w x w y cos ⁡ θ sen ⁡ θ +   w y 2 cos 2 ⁡ θ

w x 2 + w y 2 = w x 2 ∙ cos 2 ⁡ θ + w y 2 ∙ sen 2 ⁡ θ +   w x 2 sen 2 ⁡ θ +   w y 2 cos 2 ⁡ θ

Colocando w x 2 e w y 2 em evidência:

w x 2 + w y 2 = w x 2 ( cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ ) + w y 2 ( cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ )

Opa opaaaaaa

cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ = 1

Então

w x 2 + w y 2 = w x 2 + w y 2

E não é que a equação do enunciado era verdadeira mesmo!?

Resposta

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Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = r cos ⁡ θ e y = r sen ⁡ θ , (a) determine ∂ z / ∂ r e ∂ z / ∂ θ e (b) mostre que ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ r 2 +
Se z = f ( x , y ) , onde x = s + t e y = s - t , mostre que ∂ z ∂ x 2 - ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ s ∂ z ∂ t
Use a regra da cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t z = arcsin ⁡ x - y x = s 2 + t 2 y = 1 - 2 s t
Use a regra da cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t z = sin ⁡ θ ⋅ cos ⁡ ϕ θ = s t 2 ϕ = s 2 t
Se z = f x , y , onde f é diferenciável, e x = g t; y = h t g 3 = 2 ; h 3 = 7 g ' 3 = 5; h ' 3 = - 4 f x 2,7 = 6; f y 2,7 = - 8 Determine d z d t quando t = 3 .