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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

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Enunciado

Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando. (aviso: resposta errada ou resposta certa sem justificativa receberá zero no respectivo item.)

Para F : R 3 → R definida por

F x , y , z = ln ⁡ x 2 y + g cos ⁡ x + h x 3 z + 3 y z , z sen ⁡ x

Onde

g : R → R   x → g x

É uma função de classe C 2 e

h : R 2 → R   u , v → h u , v

É uma função de classe C 2 , tem-se que

∂ F ∂ x x , y , z = 2 x + g ' cos ⁡ x + ∂ h ∂ u x 3 z + 3 y z , z sen ⁡ x 3 x 2 z + ∂ h ∂ v x 3 z + 3 y z , z sen ⁡ x z cos ⁡ x

Passo 1

Para ver se essa parada é verdadeira temos que fazer a derivada. Vamos fazer a derivada de F em relação a x em cada parcela da soma para ver se aparece ali.

Começando com

∂ ∂ x ln ⁡ x 2 y = 1 x 2 y 2 x y = 2 x y x 2 y = 2 x

Beleza está ali no resultado final, aqui nos usamos a regra da cadeia.

Passo 2

Vamos fazer a derivada de

∂ ∂ x g cos ⁡ x = - g ' cos ⁡ x . sen ⁡ x

Opa, aí já nos mostrou que essa bagaça é falsa, está faltando o seno na resposta que ele deu.

Se você calcular a derivada em relação a x de h x 3 z + 3 y z , z sen ⁡ x vai ver que vai dar o que aparece ali, mas não importa está errado de qualquer forma pelo termo faltando seno.

Resposta

Falso

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Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = r cos ⁡ θ e y = r sen ⁡ θ , (a) determine ∂ z / ∂ r e ∂ z / ∂ θ e (b) mostre que ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ r 2 +
Se z = f ( x , y ) , onde x = s + t e y = s - t , mostre que ∂ z ∂ x 2 - ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ s ∂ z ∂ t
Use a regra da cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t z = arcsin ⁡ x - y x = s 2 + t 2 y = 1 - 2 s t
Use a regra da cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t z = sin ⁡ θ ⋅ cos ⁡ ϕ θ = s t 2 ϕ = s 2 t
Se z = f x , y , onde f é diferenciável, e x = g t; y = h t g 3 = 2 ; h 3 = 7 g ' 3 = 5; h ' 3 = - 4 f x 2,7 = 6; f y 2,7 = - 8 Determine d z d t quando t = 3 .