Seja , uma função de classe e defina

1. Determine em termos da função e de suas derivadas parciais de primeira e segunda ordem.
2. Se é a equação do plano tangente ao gráfico de no ponto , determine .
3. Sabendo que e que, calcule .

Usando a regra da cadeia, teremos, para a primeira derivada de em relação a , por exemplo (por que como , tanto faz em relação a qual derivamos primeiro) :

Lembrando que as derivadas e são em relação a , pois estamos calculando , e que e são função de e , teremos:

Agora podemos calcular a próxima derivada, em relação a . Basta que derivemos cada termo da soma em relação a :

E vamos usar a regra do produto dentro de cada termo. Ficando assim:

Como , pois nesse termo não temos nenhuma variável , fica apenas que:

E, para o segundo termo, teremos que :

E, por fim, nossa equação fica:

Agora vamos calcular essa bagaça. Começando pelo primeiro termo, teremos:

Só pra ficar mais claro o que fizemos aqui, é só tratar como se fosse o . Quando era só você não derivou em relação a , multiplicou pela derivada de em relação a e depois somou com a derivada em relação a multiplicada pela derivada de em relação a ? Então, aqui é só fingir que é o ;)

Colocando as derivadas de e em relação a ,

Vei, isso tá gigante... Mas não tem jeito, é braçal mesmo. Vamos para os outros termos!

O próximo a ser desenvolvido é:

hahahah Bem mais fácil que o outro né? Só derivar em relação a !

E agora o último!

Colocando as derivadas parciais de e em relação a :

E aí está! Só juntar tudo e teremos nossa derivada em relação a e :

b)

Ora, o plano que nos foi dado é . Mas sabemos que a equação geral para o plano tangente também é:

Como o ponto é , temos que e . Assim,

Agora, colocando a equação que foi dada no mesmo molde, teremos:

Pronto! Agora é só comparar uma com a outra:

Veja que, como os coeficientes de e são, e respectivamente, temos:

E o termos constantes somados dão o valore de , logo,

E, como sabemos, , que foi dado. Assim,

Portanto,

Mas a letra está pedindo . Como o , teremos que usar o resultado já calculado para:

E calcularemos , pelo mesmo processo do passo 2, só mudando de variável:

Assim, teremos o gradiente dado por:

Finalmente, apenas substituímos os valores de e , ou seja, , e os valores para e :

E pronto! Nosso gradiente de no ponto é !

1. É a última! Aguente firme que tá acabando :)

Vamos calcular . Bom, sabemos que a expressão para , do item é:

Como sabemos que para o ponto , temos , vamos escrever isso colocando os valores de e e :

Como o enunciado deu os valores:

• e que

Só temos que substituir!! Veja só:

E já tínhamos calculado o ! Ele vale :