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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

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Enunciado

UFPA, Sem Campus, Cálculo II, Listas de Cálculo 1 - Profº Tiago Coelho - Lista de Exercícios 5, Questão 4

Questão 4. Utilize a regra da cadeia para determinar as derivadas parciais ∂ z ∂ u , ∂ z ∂ v e ∂ z ∂ w quando u = 1 , v = 2 e w = 1 , em que z = x + 3 y 2 , x = 2 u v - 2 w 3 e y = v e u .

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema foi dada uma função z = x + 3 y 2 e nosso objetivo é calcular as derivadas ∂ z ∂ u , ∂ z ∂ v e ∂ z ∂ w no ponto u , v , w = 1,2 , 1 sabendo que x = 2 u v - 2 w 3 e y = v e u .

Parece complicado, não é? 😬

Para obter essas derivadas, temos que aplicar a regra da cadeia já que z é uma função de x e y que por suas vezes são funções de u , v e w .

Então para calcular a derivada de z em função de u , por exemplo, fazemos

∂ z ∂ u = ∂ z ∂ u · ∂ x ∂ x → ∂ z ∂ u = ∂ z ∂ x · ∂ x ∂ u

Mas como z é uma função de duas variáveis, fazemos o mesmo para y e somamos à igualdade, ou seja

∂ z ∂ u = ∂ z ∂ x · ∂ x ∂ u + ∂ z ∂ y · ∂ y ∂ u

E assim podemos calcular as derivadas parciais de z .

Sacou? Bora começar! 😁

Passo 2

Como vimos no passo anterior, a derivada de z em relação a u é dada por

∂ z ∂ u = ∂ z ∂ x · ∂ x ∂ u + ∂ z ∂ y · ∂ y ∂ u

Substituindo z , x e y pelas equações dadas no enunciado, temos

∂ z ∂ u = ∂ x + 3 y 2 ∂ x · ∂ 2 u v - 2 w 3 ∂ u + ∂ x + 3 y 2 ∂ y · ∂ v e u ∂ u

Calculando as derivadas...

∂ z ∂ u = 1 · 2 v + 6 y · v e u

Substituindo y

∂ z ∂ u = 2 v + v e u 6 v e u

∂ z ∂ u = 2 v + 6 v 2 e 2 u

Aplicando o ponto 1,2 , 1 para o resultado, chegamos em

∂ z 1,2 , 1 ∂ u = 2 2 + 6 2 2 e 2 1

∂ z 1,2 , 1 ∂ u = 4 + 24 e 2

Tranquilo até aqui? 😊

Passo 3

Agora vamos fazer o mesmo processo para v

∂ z ∂ v = ∂ z ∂ x · ∂ x ∂ v + ∂ z ∂ y · ∂ y ∂ v

Substituindo z , x e y ...

∂ z ∂ v = ∂ x + 3 y 2 ∂ x · ∂ 2 u v - 2 w 3 ∂ v + ∂ x + 3 y 2 ∂ y · ∂ v e u ∂ v

∂ z ∂ v = 1 · 2 u + 6 y · e u

Substituindo a função y e simplificando

∂ z ∂ v = 2 u + 6 v e u e u

∂ z ∂ v = 2 u + 6 v e 2 u

Aplicando o ponto 1,2 , 1 , vamos obter

∂ z 1,2 , 1 ∂ v = 2 1 + 6 2 e 2 1

∂ z 1,2 , 1 ∂ v = 2 + 12 e 2

Bacana, não é? 😉

Passo 4

Por fim, vamos obter a derivada de z em relação a w seguindo o mesmo procedimento

∂ z ∂ w = ∂ z ∂ x · ∂ x ∂ w + ∂ z ∂ y · ∂ y ∂ w

Substituindo z , x e y

∂ z ∂ w = ∂ x + 3 y 2 ∂ x · ∂ 2 u v - 2 w 3 ∂ w + ∂ x + 3 y 2 ∂ y · ∂ v e u ∂ w

∂ z ∂ w = 1 · - 6 w 2 + 6 y · 0

∂ z ∂ w = - 6 w 2

Aqui podemos substituir o ponto 1,2 , 1 diretamente

∂ z 1,2 , 1 ∂ w = - 6 1 2

∂ z 1,2 , 1 ∂ w = - 6

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

∂ z 1,2 , 1 ∂ u = 4 + 24 e 2

∂ z 1,2 , 1 ∂ v = 2 + 12 e 2

∂ z 1,2 , 1 ∂ w = - 6

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Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = r cos ⁡ θ e y = r sen ⁡ θ , (a) determine ∂ z / ∂ r e ∂ z / ∂ θ e (b) mostre que ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ r 2 +
Se z = f ( x , y ) , onde x = s + t e y = s - t , mostre que ∂ z ∂ x 2 - ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ s ∂ z ∂ t
Use a regra da cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t z = arcsin ⁡ x - y x = s 2 + t 2 y = 1 - 2 s t
Use a regra da cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t z = sin ⁡ θ ⋅ cos ⁡ ϕ θ = s t 2 ϕ = s 2 t
Se z = f x , y , onde f é diferenciável, e x = g t; y = h t g 3 = 2 ; h 3 = 7 g ' 3 = 5; h ' 3 = - 4 f x 2,7 = 6; f y 2,7 = - 8 Determine d z d t quando t = 3 .