Origem do Exercício
Considere uma função de três variáveis .
Seja
Encontre quando ; ; e
Passo 1
A situação é a seguinte: temos uma função que depende de e :
Mas e também são funções que dependem de e :
Então, pela regra da cadeia, a derivada de em relação a fica assim:
Ok, temos quatro derivadas para calcular então.
Passo 2
Começamos pelas derivadas de :
Passo 3
E depois as derivadas de e :
Passo 4
Beleza, agora vamos substituir nossos resultados na fórmula da derivada:
Quando e , sabemos que:
Substituindo esses valores, além do e do , obtemos o seguinte:
O primeiro parênteses está multiplicado por zero, então resta:
Pronto!
Resposta
Letra (d).
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Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = r cos θ e y = r sen θ , (a) determine ∂ z / ∂ r e ∂ z / ∂ θ e (b) mostre que ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ r 2 +
Se z = f ( x , y ) , onde x = s + t e y = s - t , mostre que ∂ z ∂ x 2 - ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ s ∂ z ∂ t
Use a regra da cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t z = arcsin x - y x = s 2 + t 2 y = 1 - 2 s t
Use a regra da cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t z = sin θ ⋅ cos ϕ θ = s t 2 ϕ = s 2 t
Se z = f x , y , onde f é diferenciável, e x = g t; y = h t g 3 = 2 ; h 3 = 7 g ' 3 = 5; h ' 3 = - 4 f x 2,7 = 6; f y 2,7 = - 8 Determine d z d t quando t = 3 .