Considere as funções f(x, y, z) = xy + z , x(r, θ, ϕ) = r * cos(θ) * sen(ϕ) , y(r, θ, ϕ) = r * sen(θ) * sen(ϕ) e z(r, θ, ϕ) = r * cos(ϕ) . Defina F(r, θ, ϕ) = f(r, θ, ϕ), f(r, θ, ϕ), f(r, θ, ϕ) . Calcule ∂F/∂θ | 1, π/2, π/2

a) -1

b) - π / 2

c) 1

d) π / 2

e) 0

Passo 1

Pela regra da cadeia, vamos ter:

∂ F ∂ θ r 0 , θ 0 , ϕ 0 =

∂ f ∂ x ( x 0 , y 0 , z 0 ) ∂ x ∂ θ r 0 , θ 0 , ϕ 0 + ∂ f ∂ y ( x 0 , y 0 , z 0 ) ∂ y ∂ θ r 0 , θ 0 , ϕ 0 + ∂ f ∂ z ( x 0 , y 0 , z 0 ) ∂ z ∂ θ r 0 , θ 0 , ϕ 0

Então, vamos começar calculando o gradiente de f , temos:

∇ f x , y , z = f x , f y , f z = y , x , 1

Passo 2

Calculando as derivadas em relação a θ :

∂ x ∂ θ = - r s e n θ s e n ϕ

∂ y ∂ θ = r c o s θ s e n ϕ

∂ z ∂ θ = 0

Passo 3

O problema pede

∂ F ∂ θ 1 , π 2 , π 2

Ou seja, r 0 = 1 ,   θ 0 = π 2 ,   ϕ 0 = π 2

Podemos calcular x 0 = 0 ,   y 0 = 1 ,   z 0 = 0

Substituindo:

∂ F ∂ θ 1 , π 2 , π 2 =

∂ f ∂ x ( 0 , 1 , 0 ) ∂ x ∂ θ 1 , π 2 , π 2 + ∂ f ∂ y ( 0,1 , 0 ) ∂ y ∂ θ 1 , π 2 , π 2 + ∂ f ∂ z ( 0,1 , 0 ) ∂ z ∂ θ 1 , π 2 , π 2

Passo 4

Sabemos que:

∂ f ∂ x 0,1 , 0 = 1

∂ f ∂ y 0,1 , 0 = 0

∂ f ∂ z 0,1 , 0 = 1

Além disso:

∂ x ∂ θ 1 , π 2 , π 2 = - 1

∂ y ∂ θ 1 , π 2 , π 2 = 0

∂ z ∂ θ 1 , π 2 , π 2 = 0

Substituindo:

∂ F ∂ θ 1 , π 2 , π 2 = 1 - 1 + 0 0 + 1 0 = - 1  

Resposta

a) - 1

Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

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