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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

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Enunciado

UFRJ, Cálculo 2, PF 2013.1, M.E. 4

Considere as funções f x , y , z = x y + z , x r , θ , ϕ = r c o s θ s e n ϕ   , y r , θ , ϕ = r s e n θ s e n ϕ   e z r , θ , ϕ = r c o s ϕ . Defina F r , θ , ϕ = f   x r , θ , ϕ , y r , θ , ϕ , z r , θ , ϕ . Calcule ∂ F ∂ θ 1 , π 2 , π 2

a) - 1

b) - π 2

c) 1

d) π 2

e) 0

Passo 1

Pela regra da cadeia, vamos ter:

∂ F ∂ θ r 0 , θ 0 , ϕ 0 =

∂ f ∂ x ( x 0 , y 0 , z 0 ) ∂ x ∂ θ r 0 , θ 0 , ϕ 0 + ∂ f ∂ y ( x 0 , y 0 , z 0 ) ∂ y ∂ θ r 0 , θ 0 , ϕ 0 + ∂ f ∂ z ( x 0 , y 0 , z 0 ) ∂ z ∂ θ r 0 , θ 0 , ϕ 0

Então, vamos começar calculando o gradiente de f , temos:

∇ f x , y , z = f x , f y , f z = y , x , 1

Passo 2

Calculando as derivadas em relação a θ :

∂ x ∂ θ = - r s e n θ s e n ϕ

∂ y ∂ θ = r c o s θ s e n ϕ

∂ z ∂ θ = 0

Passo 3

O problema pede

∂ F ∂ θ 1 , π 2 , π 2

Ou seja, r 0 = 1 ,   θ 0 = π 2 ,   ϕ 0 = π 2

Podemos calcular x 0 = 0 ,   y 0 = 1 ,   z 0 = 0

Substituindo:

∂ F ∂ θ 1 , π 2 , π 2 =

∂ f ∂ x ( 0 , 1 , 0 ) ∂ x ∂ θ 1 , π 2 , π 2 + ∂ f ∂ y ( 0,1 , 0 ) ∂ y ∂ θ 1 , π 2 , π 2 + ∂ f ∂ z ( 0,1 , 0 ) ∂ z ∂ θ 1 , π 2 , π 2

Passo 4

Sabemos que:

∂ f ∂ x 0,1 , 0 = 1

∂ f ∂ y 0,1 , 0 = 0

∂ f ∂ z 0,1 , 0 = 1

Além disso:

∂ x ∂ θ 1 , π 2 , π 2 = - 1

∂ y ∂ θ 1 , π 2 , π 2 = 0

∂ z ∂ θ 1 , π 2 , π 2 = 0

Substituindo:

∂ F ∂ θ 1 , π 2 , π 2 = 1 - 1 + 0 0 + 1 0 = - 1  

Resposta

a) - 1

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Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = r cos ⁡ θ e y = r sen ⁡ θ , (a) determine ∂ z / ∂ r e ∂ z / ∂ θ e (b) mostre que ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ r 2 +
Se z = f ( x , y ) , onde x = s + t e y = s - t , mostre que ∂ z ∂ x 2 - ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ s ∂ z ∂ t
Use a regra da cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t z = arcsin ⁡ x - y x = s 2 + t 2 y = 1 - 2 s t
Use a regra da cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t z = sin ⁡ θ ⋅ cos ⁡ ϕ θ = s t 2 ϕ = s 2 t
Se z = f x , y , onde f é diferenciável, e x = g t; y = h t g 3 = 2 ; h 3 = 7 g ' 3 = 5; h ' 3 = - 4 f x 2,7 = 6; f y 2,7 = - 8 Determine d z d t quando t = 3 .