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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

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Enunciado

Considere o elipsoide

x 2 4 + y 2 9 + z 2 16 = 1

  1. Numa vizinhança de x , y , z = 1 , 3 2 ,   2 2 , suponha que conseguimos descrever o elipsoide como o gráfico de uma função diferenciável, isto é, escrever z = f ( x , y ) .

    2. Determine ∂ z ∂ x e ∂ z ∂ y para x , y , z = 1 , 3 2 ,   2 2 .

  2. Nas mesmas condições do item anterior, considere x = 1 + r cos ⁡ θ e y = 3 2 + r sen ⁡ θ . Determine ∂ z ∂ r e ∂ z ∂ θ para r , θ = 0 , π 6 .

Passo 1

a )

Ele deu uma enrolada e tal, mas o que ele ta querendo dizer pra gente é que z pode ser definido implicitamente como função de x , y pela equação do elipsoide nas vizinhanças de x , y , z = 1 , 3 2 ,   2 2 .

Então, vamos derivar implicitamente a equação do elipsoide.

Primeiro, em relação a x :

2 x 4 + 2 z 16 ∙ ∂ z ∂ x = 0

∂ z ∂ x = 16 2 z - x 2

Agora em relação a y :

2 y 9 + 2 z 16 ∙ ∂ z ∂ y = 0

∂ z ∂ y = 16 2 z - 2 y 9

Passo 2

No ponto 1 , 3 2 ,   2 2 temos:

∂ z ∂ x = 16 2.2 2 - 1 2

∂ z ∂ x = - 2 2

E

∂ z ∂ y = 16 2.2 2 - 2 3 2 9

∂ z ∂ y = - 4 3 2

Passo 3

b )

Agora, a nossa função z = f ( x , y ) passou a ser uma função composta. Assim, para derivar, vamos usar a regra da cadeia:

∂ z ∂ r = ∂ z ∂ x ∂ x ∂ r + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ r

E

∂ z ∂ θ = ∂ z ∂ x ∂ x ∂ θ + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ θ

As derivadas parciais de z nós já calculamos na letra a . Falta só as derivadas parciais de x e de y .

Passo 4

Vamos fazer isso então.

As derivadas parciais de x são:

x = 1 + r cos ⁡ θ

∂ x ∂ r = cos ⁡ θ

∂ x ∂ θ = - r sen ⁡ θ

E as derivadas parciais de y são:

y = 3 2 + r sen ⁡ θ

∂ y ∂ r = sen ⁡ θ

∂ y ∂ θ = r cos ⁡ θ

Passo 5

O problema quer que a gente calcule as ∂ z ∂ r e ∂ z ∂ θ quando r , θ = 0 , π 6 .

Então, precisamos saber quanto vale ( x , y ) quando r , θ = 0 , π 6 ?

x = 1 + r cos ⁡ θ = 1 + 0 cos ⁡ π 6 = 1

y = 3 2 + r sen ⁡ θ = 3 2 + 0 sen ⁡ π 6 = 3 2

Ufa, ainda bem né? Porque aí já temos as derivads parciais de z calculadas nesse ponto.

Enfim, substituindo tudo então, a regra da cadeia fica:

∂ z ∂ r = - 2 2 cos ⁡ θ - 4 3 2 sen ⁡ θ = - 2 2 cos ⁡ π 6 - 4 3 2 sen ⁡ π 6 = - 3 3 + 2 3 2

E

∂ z ∂ θ = - 2 2 - r sen ⁡ θ - 4 3 2 r cos ⁡ θ = - 2 2 - 0 sen ⁡ π 6 - 4 3 2 0 cos ⁡ π 6 = 0

Resposta

  1. ∂ z ∂ x = - 2 2

    ∂ z ∂ y = - 4 3 2

∂ z ∂ r = - 3 3 + 2 3 2

∂ z ∂ θ = 0

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Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = r cos ⁡ θ e y = r sen ⁡ θ , (a) determine ∂ z / ∂ r e ∂ z / ∂ θ e (b) mostre que ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ r 2 +
Se z = f ( x , y ) , onde x = s + t e y = s - t , mostre que ∂ z ∂ x 2 - ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ s ∂ z ∂ t
Use a regra da cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t z = arcsin ⁡ x - y x = s 2 + t 2 y = 1 - 2 s t
Use a regra da cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t z = sin ⁡ θ ⋅ cos ⁡ ϕ θ = s t 2 ϕ = s 2 t
Se z = f x , y , onde f é diferenciável, e x = g t; y = h t g 3 = 2 ; h 3 = 7 g ' 3 = 5; h ' 3 = - 4 f x 2,7 = 6; f y 2,7 = - 8 Determine d z d t quando t = 3 .