Considere o elipsoide

(x^2 / 4) + (y^2 / 9) + (z^2 / 16) = 1

  1. Numa vizinhança de (x, y, z) = (1, 3/2, 2 * raiz(2)) , suponha que conseguimos descrever o elipsoide como o gráfico de uma função diferenciável, isto é, escrever z = f(x, y) .
  2. Determine ∂z / ∂x e ∂z/∂y para (x, y, z) = (1, 3/2, 2 * raiz(2)) .

  3. Nas mesmas condições do item anterior, considere x = 1 + r * cos(θ) e y = 3 / 2 + r * sen(θ) . Determine ∂z / ∂r e ∂z / ∂θ para (r, θ) = (0, π/6) .

Passo 1

a )

Ele deu uma enrolada e tal, mas o que ele ta querendo dizer pra gente é que z pode ser definido implicitamente como função de x , y pela equação do elipsoide nas vizinhanças de x , y , z = 1 , 3 2 ,   2 2 .

Então, vamos derivar implicitamente a equação do elipsoide.

Primeiro, em relação a x :

2 x 4 + 2 z 16 ∙ ∂ z ∂ x = 0

∂ z ∂ x = 16 2 z - x 2

Agora em relação a y :

2 y 9 + 2 z 16 ∙ ∂ z ∂ y = 0

∂ z ∂ y = 16 2 z - 2 y 9

Passo 2

No ponto 1 , 3 2 ,   2 2 temos:

∂ z ∂ x = 16 2.2 2 - 1 2

∂ z ∂ x = - 2 2

E

∂ z ∂ y = 16 2.2 2 - 2 3 2 9

∂ z ∂ y = - 4 3 2

Passo 3

b )

Agora, a nossa função z = f ( x , y ) passou a ser uma função composta. Assim, para derivar, vamos usar a regra da cadeia:

∂ z ∂ r = ∂ z ∂ x ∂ x ∂ r + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ r

E

∂ z ∂ θ = ∂ z ∂ x ∂ x ∂ θ + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ θ

As derivadas parciais de z nós já calculamos na letra a . Falta só as derivadas parciais de x e de y .

Passo 4

Vamos fazer isso então.

As derivadas parciais de x são:

x = 1 + r cos ⁡ θ

∂ x ∂ r = cos ⁡ θ

∂ x ∂ θ = - r sen ⁡ θ

E as derivadas parciais de y são:

y = 3 2 + r sen ⁡ θ

∂ y ∂ r = sen ⁡ θ

∂ y ∂ θ = r cos ⁡ θ

Passo 5

O problema quer que a gente calcule as ∂ z ∂ r e ∂ z ∂ θ quando r , θ = 0 , π 6 .

Então, precisamos saber quanto vale ( x , y ) quando r , θ = 0 , π 6 ?

x = 1 + r cos ⁡ θ = 1 + 0 cos ⁡ π 6 = 1

y = 3 2 + r sen ⁡ θ = 3 2 + 0 sen ⁡ π 6 = 3 2

Ufa, ainda bem né? Porque aí já temos as derivads parciais de z calculadas nesse ponto.

Enfim, substituindo tudo então, a regra da cadeia fica:

∂ z ∂ r = - 2 2 cos ⁡ θ - 4 3 2 sen ⁡ θ = - 2 2 cos ⁡ π 6 - 4 3 2 sen ⁡ π 6 = - 3 3 + 2 3 2

E

∂ z ∂ θ = - 2 2 - r sen ⁡ θ - 4 3 2 r cos ⁡ θ = - 2 2 - 0 sen ⁡ π 6 - 4 3 2 0 cos ⁡ π 6 = 0

Resposta

  1. ∂ z ∂ x = - 2 2

    ∂ z ∂ y = - 4 3 2

∂ z ∂ r = - 3 3 + 2 3 2

∂ z ∂ θ = 0

Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

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Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f(x, y) , onde x = r * cos(θ) e y = r * sen(θ) , (a) determine ∂z/∂r e ∂z/∂θ e (b) mostre que ( ∂z/∂x )^2 + ( ∂z/∂y )^2 = ( ∂z/∂r )^2 + 1/r
Se z = f ( x , y ) , onde x = s + t e y = s - t , mostre que ∂ z ∂ x 2 - ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ s ∂ z ∂ t
Use a regra da cadeia para achar ∂z / ∂s e ∂z / ∂t z = sen(θ) ⋅ cos(ϕ) θ = s * t^2 ϕ = s^2 t
Use o diagrama em arvore para escrever a regra da cadeia para o caso dado. Assuma que todas as funções são diferenciáveis.w = f(x, y, z) Ondex = x(u, v) y = y(u, v) z = z(u, v)
O comprimento l , a largura w e a altura h de uma caixa variam com o tempo. Em um determinado momento, as dimensões são l = 1 m e w = h = 2 m , l e w estão aumentando em uma taxa de 2 * m / s enquanto