Seja f(x, y) uma função diferenciável em todos os pontos de e

g(u, v) = f(u + cos(v), sen(u) + v)

Considere a seguinte tabela de valores:

Quanto valem g_u(0, 0) e g_v(0,0) , respectivamente?

  1. 5 e 3
  2. 3 * e^(-2)
  3. 5 e 1
  4. 2 * e^(-1)
  5. -1 e 2

Passo 1

Temos

g u , v = f u + cos ⁡ v , sen ⁡ u + v

Então

x u , v = u + cos ⁡ v

y u , v = sen ⁡ u + v

Para achar essas derivadas parciais, vamos usar a regra da cadeia:

∂ g ∂ u = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ u

∂ g ∂ v = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ v

Passo 2

Vamos começar então calculando as derivadas parciais de x e de y que é a única coisa que vamos conseguir calcular. O resto teremos que olhar na tabela.

As derivadas parciais de x são:

∂ x ∂ u = 1

∂ x ∂ v = - sen ⁡ v

E as derivadas parciais de y são:

∂ y ∂ u = cos ⁡ u

∂ y ∂ v = 1

Substituindo no ponto ( 0,0 ) , temos

∂ x ∂ u ( 0,0 ) = 1

∂ x ∂ v ( 0,0 ) = 0

∂ y ∂ u ( 0,0 ) = 1

∂ y ∂ v ( 0,0 ) = 1

Passo 3

Agora é só substituir na fórmula da regra da cadeia. Mas fica ligado que f é função de x , y e quando u , v = ( 0,0 ) , x , y = ( 1,0 )

∂ g ∂ u ( 0,0 ) = ∂ f ∂ x ( 1,0 ) ∂ x ∂ u ( 0,0 ) + ∂ f ∂ y ( 1,0 ) ∂ y ∂ u ( 0,0 )

∂ g ∂ v ( 0,0 ) = ∂ f ∂ x ( 1,0 ) ∂ x ∂ v ( 0,0 ) + ∂ f ∂ y ( 1,0 ) ∂ y ∂ v ( 0,0 )

Substituindo os valores que encontramos no passo 2 e os valores da tabela:

∂ g ∂ u 0,0 = - 3.1 + 2.1 = - 1

∂ g ∂ v 0,0 = - 3.0 + 2.1 = 2

Resposta

L e t r a   e

Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

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