Seja uma função diferenciável em todos os pontos de e
Considere a seguinte tabela de valores:
Quanto valem e , respectivamente?
Passo 1
Temos
Então
Para achar essas derivadas parciais, vamos usar a regra da cadeia:
Passo 2
Vamos começar então calculando as derivadas parciais de e de que é a única coisa que vamos conseguir calcular. O resto teremos que olhar na tabela.
As derivadas parciais de são:
E as derivadas parciais de são:
Substituindo no ponto , temos
Passo 3
Agora é só substituir na fórmula da regra da cadeia. Mas fica ligado que é função de e quando ,
Substituindo os valores que encontramos no passo 2 e os valores da tabela:
Resposta
Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro
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Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f(x, y) , onde x = r * cos(θ) e y = r * sen(θ) , (a) determine ∂z/∂r e ∂z/∂θ e (b) mostre que ( ∂z/∂x )^2 + ( ∂z/∂y )^2 = ( ∂z/∂r )^2 + 1/r
Se z = f ( x , y ) , onde x = s + t e y = s - t , mostre que ∂ z ∂ x 2 - ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ s ∂ z ∂ t
Use a regra da cadeia para achar ∂z / ∂s e ∂z / ∂t z = sen(θ) ⋅ cos(ϕ) θ = s * t^2 ϕ = s^2 t
Use o diagrama em arvore para escrever a regra da cadeia para o caso dado. Assuma que todas as funções são diferenciáveis.w = f(x, y, z) Ondex = x(u, v) y = y(u, v) z = z(u, v)
O comprimento l , a largura w e a altura h de uma caixa variam com o tempo. Em um determinado momento, as dimensões são l = 1 m e w = h = 2 m , l e w estão aumentando em uma taxa de 2 * m / s enquanto