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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

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Enunciado

UTFPR. Cálculo Diferencial e Integral 2. Prova AV2. 2022.1. Questão 2.

Questão 2 – Na função abaixo, use a Regra da Cadeia para determinar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t .

z = arcsin ⁡ x - y ,     x = s 2 + t 2 ,     y = 1 - 2 s t

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nessa questão, temos uma função composta dada por z = arcsin ⁡ x - y em que x = s 2 + t 2 e y = 1 - 2 s t .

A partir dessa função, temos que aplicar a regra da cadeia para obter a derivada de z em relação a s e a derivada de z em relação a t .

Como podemos fazer isso?? 🤔

A regra da cadeia é obtida aplicando a derivada da função interna multiplicando pela derivada da função externa em uma função composta.

Bora ver na prática? 😁

Passo 2

De modo geral, a derivada de uma função h = f g x , y é dada por

h ' = g ' x , y · f ' g x , y

Para facilitar a visualização da derivada de fora, substituímos g x , y por uma variável qualquer em f ' g x , y .

No nosso caso, g x , y = x - y e f g x , y = arcsin ⁡ g x , y

Substituindo g x , y por u em f g x , y , temos

f u = arcsin ⁡ u

Agora derivando z com relação a s , temos

∂ z ∂ s = ∂ x - y ∂ s · ∂ arcsin ⁡ u ∂ u

Substituindo x por s 2 + t 2 e y por 1 - 2 s t

∂ z ∂ s = ∂ s 2 + t 2 - 1 - 2 s t ∂ s · ∂ arcsin ⁡ u ∂ u

∂ z ∂ s = ∂ s 2 + t 2 - 1 + 2 s t ∂ s · ∂ arcsin ⁡ u ∂ u

A derivada de s 2 + t 2 - 1 + 2 s t com relação a s é obtida pelo método de derivação polinomial.

Já a derivada de arcsin ⁡ u é obtida pelo teorema fundamental do cálculo que diz que a derivada de arcsin ⁡ x é igual a 1 1 - x 2 , então

∂ z ∂ s = ( 2 · s 2 - 1 + 0 t 2 - 0 1 + 2 s 1 - 1 t ) · 1 1 - u 2

Simplificando e substituindo u por x - y , temos

∂ z ∂ s = 2 s + 2 t · 1 1 - x - y 2

∂ z ∂ s = 2 s + 2 t 1 - x - y 2

A primeira derivada está calculada!

Entendeu essa parte? 👀

Passo 3

Por último, vamos fazer o mesmo só que dessa vez derivando com relação a t

∂ z ∂ t = ∂ x - y ∂ t · ∂ arcsin ⁡ u ∂ u

Substituindo x por s 2 + t 2 e y por 1 - 2 s t , temos

∂ z ∂ t = ∂ s 2 + t 2 - 1 - 2 s t ∂ t · ∂ arcsin ⁡ u ∂ u

∂ z ∂ t = ∂ s 2 + t 2 - 1 + 2 s t ∂ t · ∂ arcsin ⁡ u ∂ u

Já sabemos o resultado da derivada de arcsin ⁡ u , mas a derivada de s 2 + t 2 - 1 + 2 s t vamos calcular pelo método de derivação polinomial.

∂ z ∂ t = 0 s 2 + 2 · t 2 - 1 - 0 1 + 2 s t 1 - 1 · 1 1 - u 2

Simplificando e substituindo u por x - y

∂ z ∂ t = 2 t + 2 s · 1 1 - x - y 2

∂ z ∂ t = 2 t + 2 s 1 - x - y 2

Com isso, obtemos a derivada de z com relação a t e terminamos o problema!

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

∂ z ∂ s = 2 s + 2 t 1 - x - y 2

∂ z ∂ t = 2 t + 2 s 1 - x - y 2

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Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = r cos ⁡ θ e y = r sen ⁡ θ , (a) determine ∂ z / ∂ r e ∂ z / ∂ θ e (b) mostre que ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ r 2 +
Se z = f ( x , y ) , onde x = s + t e y = s - t , mostre que ∂ z ∂ x 2 - ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ s ∂ z ∂ t
Use a regra da cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t z = arcsin ⁡ x - y x = s 2 + t 2 y = 1 - 2 s t
Use a regra da cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t z = sin ⁡ θ ⋅ cos ⁡ ϕ θ = s t 2 ϕ = s 2 t
Se z = f x , y , onde f é diferenciável, e x = g t; y = h t g 3 = 2 ; h 3 = 7 g ' 3 = 5; h ' 3 = - 4 f x 2,7 = 6; f y 2,7 = - 8 Determine d z d t quando t = 3 .