Seja f: R^2 → R^2 , (u, v) → f(u, v) . Sejam u(x, y) = x^2 - y^2 e v(x, y) = 2xy . Considere a composta g(x, y) := f(u(x, y), v(x, y)); ∀ (x, y) ∈ R² .

Assuma:

g_x(raiz(2) / 4, raiz(2) / 4) = a

g_y(raiz(2) / 4, raiz(2) / 4) = b

Para a e Desculpe, mas parece que você não forneceu uma fórmula MathML específica para eu reescrever. Se você puder fornecer uma fórmula, ficarei feliz em ajudá-lo a convertê-la para uma linguagem mais natural. ∈ R .

Calcule f_u(0, 1 / 4) e f_v(0, 1/4) em função de a e b .

Passo 1

Aqui a dica é a seguinte: o enunciado pediu pra assumir g x 2 4 , 2 4 e g y 2 4 , 2 4 como valores constantes. Isso, naturalmente, não foi por acaso! Vejamos, se colocamos o ponto 2 4 , 2 4 em u x , y , teremos:

u 2 4 , 2 4 = 2 4 2 - 2 4 2 = 0

E, colocando esse ponto em v x , y , teremos:

v x , y = 2 2 4 . 2 4 = 1 4

E, olha só! Colocando esse u e v em f , temos f 0 , 1 4 , que é exatamente o ponto no qual ele nos pede as derivadas :D Viu só? Isso parece “acaso”, mas nunca é XD

Passo 2

Agora que já sabemos que todo x , y que aparecer na jogada vai ser esse ponto 2 4 , 2 4 para gerar o u , v = 0 , 1 4 , vamos apenas usar a regra da cadeia para calcular genericamente o valor dessas derivadas, e depois colocar os valores que tivermos em função de a e b !

Se desenvolvermos g x , simplesmente pela definição g x , y ≔ f u x , y , v x , y , pela regra da cadeia, teríamos:

g x = f u . u x + f v . v x

Colocando os pontos x , y e u , v , temos:

g x 2 4 , 2 4 = f u 0 , 1 4 . u x 2 4 , 2 4 + f v 0 , 1 4 . v x 2 4 , 2 4

Como g x 2 4 , 2 4 = a , então, temos:

a = f u 0 , 1 4 . u x 2 4 , 2 4 + f v 0 , 1 4 . v x 2 4 , 2 4

Beleza?

Passo 3

Agora, vamos desenvolver o g y , pela regra da cadeia:

g y = f u . u y + f v . v y

Colocando os pontos que queremos:

b = f u 0 , 1 4 . u y 2 4 , 2 4 + f v 0 , 1 4 . v y 2 4 , 2 4

Prontinho :D

Passo 4

Agora nos resta a pergunta: quanto valem u x 2 4 , 2 4 , u y 2 4 , 2 4 , v x 2 4 , 2 4 , v y 2 4 , 2 4 ? Isso nós podemos calcular, pois u e v nos foram dados!

Se u x , y = x 2 - y 2 e v x , y = 2 x y , então:

u x = 2 x

u y = - 2 y

v x = 2 y

v y = 2 x

Colocando o nosso ponto 2 4 , 2 4 , temos:

u x 2 4 , 2 4 = 2 2

u y 2 4 , 2 4 = - 2 2

v x 2 4 , 2 4 = 2 2

v y 2 4 , 2 4 = 2 2

Show!

Passo 5

Agora, voltamos nas equações de g x e g y com os valores das derivadas de u e v em relação a x e y :

a = f u 0 , 1 4 . u x 2 4 , 2 4 + f v 0 , 1 4 . v x 2 4 , 2 4

a = f u 0 , 1 4 . 2 2 + f v 0 , 1 4 . 2 2

E, para o g y ,

b = f u 0 , 1 4 . u y 2 4 , 2 4 + f v 0 , 1 4 . v y 2 4 , 2 4

b = - f u 0 , 1 4 . 2 2 + f v 0 , 1 4 . 2 2

E, agora, só precisamos resolver o sistema:

a = f u 0 , 1 4 . 2 2 + f v 0 , 1 4 . 2 2 b = - f u 0 , 1 4 . 2 2 + f v 0 , 1 4 . 2 2

Somando as duas equações, teremos:

2 f v = a + b

f v = a + b 2

Subtraindo a de baixo da de cima, temos:

2 f u = a - b

f u = a - b 2

E aí estão nossas derivadas :D

Resposta

f u = a - b 2 e f v = a + b 2

Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

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Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f(x, y) , onde x = r * cos(θ) e y = r * sen(θ) , (a) determine ∂z/∂r e ∂z/∂θ e (b) mostre que ( ∂z/∂x )^2 + ( ∂z/∂y )^2 = ( ∂z/∂r )^2 + 1/r
Se z = f ( x , y ) , onde x = s + t e y = s - t , mostre que ∂ z ∂ x 2 - ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ s ∂ z ∂ t
Use a regra da cadeia para achar ∂z / ∂s e ∂z / ∂t z = sen(θ) ⋅ cos(ϕ) θ = s * t^2 ϕ = s^2 t
Use o diagrama em arvore para escrever a regra da cadeia para o caso dado. Assuma que todas as funções são diferenciáveis.w = f(x, y, z) Ondex = x(u, v) y = y(u, v) z = z(u, v)
O comprimento l , a largura w e a altura h de uma caixa variam com o tempo. Em um determinado momento, as dimensões são l = 1 m e w = h = 2 m , l e w estão aumentando em uma taxa de 2 * m / s enquanto