PUC-RJ, Cálculo a Várias Variáveis I, P2, 2016.1, questão 1d
Considere a função
Considere as funções reais e satisfazendo
Considere a composta
Calcule .
Passo 1
Ok, temos uma função composta e queremos calcular a derivada parcial. O que que isso te lembra? Regra da Cadeia, né?!
Pois bem, a regra da cadeia nos diz que
Substituindo no ponto , temos
Passo 2
Vamos então substituir os dados que já temos e ver o que ainda falta pra calcular.
Ótimo, só temos que calcular e .
Pela regra do produto e da cadeia:
Passo 3
Substituindo no ponto
Só nos resta então substituir tudo em
Assim
Resposta
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Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = r cos θ e y = r sen θ , (a) determine ∂ z / ∂ r e ∂ z / ∂ θ e (b) mostre que ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ r 2 +
Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = s + t e y = s - t , mostre que ∂ z ∂ x 2 - ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ s ∂ z ∂ t