PUC-RJ, Cálculo a Várias Variáveis I, P2, 2016.1, questão 1d
Considere a função
Considere as funções reais e satisfazendo
Considere a composta
Calcule .
Passo 1
Ok, temos uma função composta e queremos calcular a derivada parcial. O que que isso te lembra? Regra da Cadeia, né?!
Pois bem, a regra da cadeia nos diz que
Substituindo no ponto , temos
Passo 2
Vamos então substituir os dados que já temos e ver o que ainda falta pra calcular.
Ótimo, só temos que calcular e .
Pela regra do produto e da cadeia:
Passo 3
Substituindo no ponto
Só nos resta então substituir tudo em
Assim
Resposta
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Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = r cos θ e y = r sen θ , (a) determine ∂ z / ∂ r e ∂ z / ∂ θ e (b) mostre que ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ r 2 +
Se z = f ( x , y ) , onde x = s + t e y = s - t , mostre que ∂ z ∂ x 2 - ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ s ∂ z ∂ t
Use a regra da cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t z = arcsin x - y x = s 2 + t 2 y = 1 - 2 s t
Use a regra da cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t z = sin θ ⋅ cos ϕ θ = s t 2 ϕ = s 2 t
Se z = f x , y , onde f é diferenciável, e x = g t; y = h t g 3 = 2 ; h 3 = 7 g ' 3 = 5; h ' 3 = - 4 f x 2,7 = 6; f y 2,7 = - 8 Determine d z d t quando t = 3 .