O que está errado com o seguinte argumento?

“Suponha que com . Pela regra da cadeia:

Assim, , de modo que ”

What?? Esse argumento não faz sentido, né? Mas a pergunta que não quer calar é: por que não?

Vamos lá. Usamos a regra da cadeia para descobrir a derivada de uma função composta, certo? Em uma função composta, temos a função de fora e a/as função de dentro.

Quando usamos a regra da cadeia, o que fazemos é: a derivada da função composta é igual a derivada da função de fora, vezes a derivada da função de dentro.

Quando temos uma função de mais de uma variável, usamos derivadas parciais, mas a ideia do que estamos fazendo é exatamente a mesma.

Assim, o que temos na expressão

É:

A derivada parcial em relação a da função composta é igual a derivada parcial em relação a da função de fora (que é uma função de e ) vezes a derivada parcial em relação a da função de dentro (que também é uma função de ), mais a derivada parcial em relação a da função de fora (que é uma função de e ), vezes a derivada parcial em relação a da função de dentro (que também é uma função de ). Sendo que essas funções de dentro, são as funções e , que tem como variáveis a variável .

Assim, não podemos subtrair os termos que aparecem dos dois lados da equação pois, embora pareçam iguais, eles tem significados diferentes: o primeiro é a derivada parcial da função composta e o segundo é a derivada parcial da função de fora.

Sacou?!