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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

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Enunciado

Use a regra da cadeia para determinar ∂ s ∂ u e ∂ s ∂ v em

s = z 3 - x 2 y

sendo

x = u + v ln ⁡ u

y = u 2 - v ln ⁡ v

z = u 2 - v 2

Passo 1

Tranquilo, só a gente jogar na fórmula da regra da cadeia!

∂ f ∂ u = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ u + ∂ f ∂ z ∂ z ∂ u

E

∂ f ∂ v = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ v + ∂ f ∂ z ∂ z ∂ v

Trocando agora para a nossa função s :

Para derivada em relação a u :

∂ s ∂ u = ∂ s ∂ x ⋅ δ x δ u + ∂ s ∂ y ⋅ δ y δ u + ∂ s ∂ z ⋅ δ z δ u

Para derivada em relação a v :

∂ s ∂ v = ∂ s ∂ x ⋅ δ x δ v + ∂ s ∂ y ⋅ δ y δ v + ∂ s ∂ z ⋅ δ z δ v

Passo 2

Vamos, então, calcular as derivadas de s ( x , y , z ) :

s = z 3 - x 2 y

∂ s ∂ x = - 2 x y

∂ s ∂ y = - x 2

∂ s ∂ z = 3 z 2

Passo 3

Ok, agora vamos calcular as derivadas de x :

x = u + v ln ⁡ u

∂ x ∂ u = 1 + v u

∂ x ∂ v = ln ⁡ u

Passo 4

E as derivadas de y :

y = u 2 - v ln ⁡ v

∂ y ∂ u = 2 u

∂ y ∂ v = - ln ⁡ v - 1

Passo 5

E, por fim, as derivadas de z :

z = u 2 - v 2

∂ z ∂ u = 2 u

∂ z ∂ v = - 2 v

Passo 6

Perfeito! Conseguimos tudo o que precisávamos. Agora é só pegar os valores encontrados e jogar nas fórmulas do passo 1 !

A derivada de s em relação a u fica:

δ s δ u = ∂ s ∂ x ⋅ δ x δ u + ∂ s ∂ y ⋅ δ y δ u + ∂ s ∂ z ⋅ δ z δ u

δ s δ u = - 2 x y ⋅ 1 + v u - x 2 ⋅ 2 u + 3 z 2 ⋅ ( 2 u )

δ s δ u = - 2 x y - 2 x y v u - 2 u x 2 + 6 u z 2

E a derivada de s em relação a v fica:

δ s δ v = ∂ s ∂ x ⋅ δ x δ v + ∂ s ∂ y ⋅ δ y δ v + ∂ s ∂ z ⋅ δ z δ v

δ s δ v = - 2 x y ⋅ ln ⁡ u - x 2 ⋅ - ln ⁡ v - 1 + 3 z 2 ⋅ - 2 v

δ s δ v = - 2 x y ln ⁡ u + x 2 ln ⁡ v + 1 - 6 v z 2

Resposta

δ s δ u = - 2 x y - 2 x y v u - 2 u x 2 + 6 u z 2

δ s δ v = - 2 x y ln ⁡ u + x 2 ln ⁡ v + 1 - 6 v z 2

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Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = r cos ⁡ θ e y = r sen ⁡ θ , (a) determine ∂ z / ∂ r e ∂ z / ∂ θ e (b) mostre que ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ r 2 +
Se z = f ( x , y ) , onde x = s + t e y = s - t , mostre que ∂ z ∂ x 2 - ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ s ∂ z ∂ t
Use a regra da cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t z = arcsin ⁡ x - y x = s 2 + t 2 y = 1 - 2 s t
Use a regra da cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t z = sin ⁡ θ ⋅ cos ⁡ ϕ θ = s t 2 ϕ = s 2 t
Se z = f x , y , onde f é diferenciável, e x = g t; y = h t g 3 = 2 ; h 3 = 7 g ' 3 = 5; h ' 3 = - 4 f x 2,7 = 6; f y 2,7 = - 8 Determine d z d t quando t = 3 .