Seja e sejam e as derivadas parciais de .
Seja onde e
Considere a composta
a) Assuma e
Calcule e calcule
b) Agora assuma que e
Calcule e e calcule
Passo 1
a)
O enunciado pede pra gente calcular Sabemos que , portanto é preciso calcular essas duas componentes. Vamos ver primeiro quanto vale e quando , pois o enunciado nos dá informação nesse ponto.
Portanto, quando
Passo 2
No enunciado ele fala que montando a equação vamos ter:
Vamos calcular então e :
Logo ficamos com:
Como o enunciado falou que isso é igual temos:
Agora vamos fazer a mesma coisa para a outra equação:
Passo 3
Agora basta a gente substituir e correr para o abraço:
Passo 4
b)
Como já vimos antes:
A diferença aqui vai ser que:
Como já calculamos cada derivada parcial antes basta substituir:
Resposta
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Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = r cos θ e y = r sen θ , (a) determine ∂ z / ∂ r e ∂ z / ∂ θ e (b) mostre que ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ r 2 +
Se z = f ( x , y ) , onde x = s + t e y = s - t , mostre que ∂ z ∂ x 2 - ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ s ∂ z ∂ t
Use a regra da cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t z = arcsin x - y x = s 2 + t 2 y = 1 - 2 s t
Use a regra da cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t z = sin θ ⋅ cos ϕ θ = s t 2 ϕ = s 2 t
Se z = f x , y , onde f é diferenciável, e x = g t; y = h t g 3 = 2 ; h 3 = 7 g ' 3 = 5; h ' 3 = - 4 f x 2,7 = 6; f y 2,7 = - 8 Determine d z d t quando t = 3 .