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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

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Enunciado

USP, São Carlos, Calculo 2, Listas de C2 - Grupo Coordenado 2022 - Lista 3 - Módulo 3, Questão 29a

Se h u ,   v = f x u ,   v ,   y ( u ,   v ) , onde f ( x ,   y ) , x ( u ,   v ) e y ( u ,   v ) são diferenciáveis em todo plano, obtenha as expressões para ∂ h ∂ u e ∂ h ∂ v .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular as derivadas parciais da função h em relação a u e v , ou seja, vamos calcular ∂ h ∂ u e ∂ h ∂ v , respectivamente.

Pra isso, nós temos f ( x ,   y ) , que é igual a h , só que x e y são funções de duas outras variáveis u e v : x ( u ,   v ) e y ( u ,   v ) . Então, h é indiretamente uma função de u e v .

Sendo assim, para calcular ∂ h ∂ u mantemos v fixo e calculamos a derivada ordinária de h em relação a u . E da mesma forma, mantendo u fixo, calculamos a derivada ordinária de h em relação a v para obter ∂ h ∂ v .

Vamos lá!

Passo 2

Como vimos no passo anterior, vamos calcular a derivada de h em relação a u na forma:

∂ h ∂ u = ∂ h ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ h ∂ y ∂ y ∂ u  

E da mesma forma, calculando a derivada de h em relação v , vamos ter:

∂ h ∂ v = ∂ h ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ h ∂ y ∂ y ∂ v  

Repare que essas expressões definem um dos casos da Regra da Cadeia e podem ser aplicadas a outras funções.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

∂ h ∂ u = ∂ h ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ h ∂ y ∂ y ∂ u  

∂ h ∂ v = ∂ h ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ h ∂ y ∂ y ∂ v  

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Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = r cos ⁡ θ e y = r sen ⁡ θ , (a) determine ∂ z / ∂ r e ∂ z / ∂ θ e (b) mostre que ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ r 2 +
Se z = f ( x , y ) , onde x = s + t e y = s - t , mostre que ∂ z ∂ x 2 - ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ s ∂ z ∂ t
Use a regra da cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t z = arcsin ⁡ x - y x = s 2 + t 2 y = 1 - 2 s t
Use a regra da cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t z = sin ⁡ θ ⋅ cos ⁡ ϕ θ = s t 2 ϕ = s 2 t
Se z = f x , y , onde f é diferenciável, e x = g t; y = h t g 3 = 2 ; h 3 = 7 g ' 3 = 5; h ' 3 = - 4 f x 2,7 = 6; f y 2,7 = - 8 Determine d z d t quando t = 3 .