Se h(u, v) = f(x, h(u, v), y(u, v)) , onde f(x, y) , x(u, v) e y(u, v) são diferenciáveis em todo plano, obtenha as expressões para ∂h / ∂u e ∂h / ∂v .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular as derivadas parciais da função h em relação a u e v , ou seja, vamos calcular ∂ h ∂ u e ∂ h ∂ v , respectivamente.

Pra isso, nós temos f ( x ,   y ) , que é igual a h , só que x e y são funções de duas outras variáveis u e v : x ( u ,   v ) e y ( u ,   v ) . Então, h é indiretamente uma função de u e v .

Sendo assim, para calcular ∂ h ∂ u mantemos v fixo e calculamos a derivada ordinária de h em relação a u . E da mesma forma, mantendo u fixo, calculamos a derivada ordinária de h em relação a v para obter ∂ h ∂ v .

Vamos lá!

Passo 2

Como vimos no passo anterior, vamos calcular a derivada de h em relação a u na forma:

∂ h ∂ u = ∂ h ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ h ∂ y ∂ y ∂ u  

E da mesma forma, calculando a derivada de h em relação v , vamos ter:

∂ h ∂ v = ∂ h ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ h ∂ y ∂ y ∂ v  

Repare que essas expressões definem um dos casos da Regra da Cadeia e podem ser aplicadas a outras funções.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

∂ h ∂ u = ∂ h ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ h ∂ y ∂ y ∂ u  

∂ h ∂ v = ∂ h ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ h ∂ y ∂ y ∂ v  

Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

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Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f(x, y) , onde x = r * cos(θ) e y = r * sen(θ) , (a) determine ∂z/∂r e ∂z/∂θ e (b) mostre que ( ∂z/∂x )^2 + ( ∂z/∂y )^2 = ( ∂z/∂r )^2 + 1/r
Se z = f ( x , y ) , onde x = s + t e y = s - t , mostre que ∂ z ∂ x 2 - ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ s ∂ z ∂ t
Use a regra da cadeia para achar ∂z / ∂s e ∂z / ∂t z = sen(θ) ⋅ cos(ϕ) θ = s * t^2 ϕ = s^2 t
Use o diagrama em arvore para escrever a regra da cadeia para o caso dado. Assuma que todas as funções são diferenciáveis.w = f(x, y, z) Ondex = x(u, v) y = y(u, v) z = z(u, v)
O comprimento l , a largura w e a altura h de uma caixa variam com o tempo. Em um determinado momento, as dimensões são l = 1 m e w = h = 2 m , l e w estão aumentando em uma taxa de 2 * m / s enquanto