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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

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Enunciado

Regra da Cadeia

Considere a função

f x , y = x 2 - 1 y 2 - 1 ,         x , y ∈ R 2

  1. Sejam x u , v , y u , v funções diferenciáveis satisfazendo:

    2. x 0,0 = 0           ,           y 0,0 = 2

    x u 0,0 = 1           ,           y u 0,0 = 2

    x v 0,0 = 2           ,           y v 0,0 = 3

    Considere a função composta

    g u , v = f x u , v , y u , v

    Calcule o gradiente de g no ponto u , v = 0,0

  2. Considere a seguinte curva de nível:

C = u , v ∈ R 2 g u , v = - 1

Escreva a equação paramétrica da reta normal à curva C no ponto u , v = 0,0

Passo 1

c )

Temos de encontrar o gradiente da função g . Ele vai ser

∇ g u , v = ∂ g ∂ u , ∂ g ∂ v

Mas ele disse que

g u , v = f x u , v , y u , v

Ou seja, vamos precisar usar a regra da cadeia.

Vamos calcular cada derivada parcial com as fórmulas:

∂ g ∂ u u 0 , v 0 = ∂ f ∂ x x 0 , y 0 ∂ x ∂ u u 0 , v 0 + ∂ f ∂ y x 0 , y 0 ∂ y ∂ u u 0 , v 0

∂ g ∂ v u 0 , v 0 = ∂ f ∂ x x 0 , y 0 ∂ x ∂ v u 0 , v 0 + ∂ f ∂ y x 0 , y 0 ∂ y ∂ v u 0 , v 0

Esse u 0 e v 0 são aqueles valores de u e v que ele deu no enunciado

Aqui, é importante lembrar que x 0 e y 0 são os valores de x e y que temos em função de u 0 e v 0

x 0 = x u 0 , v 0

y 0 = y u 0 , v 0

Que são os valores de x e y quando u e v são 0 e 0

Passo 2

Vamos começar achando x 0 e y 0

x 0 = x 0,0

y 0 = y 0,0

Isso ele deu no enunciado, vai ser

x 0 = 0

y 0 = 2

Passo 3

Agora temos que achar a derivada de f em x e y .

∂ f ∂ x = y 2 - 1 x 2 - 1 ' = y 2 - 1 2 x

E

∂ f ∂ y = x 2 - 1 y 2 - 1 ' = x 2 - 1 2 y

Substituindo os valores de x e y por x 0 e y 0 que achamos ali em cima

∂ f ∂ x 1 , 2 = 2 2 - 1 2.0 = 2 - 1 0 = 0

∂ f ∂ y 1 , 2 = 0 2 - 1 2 2 = - 1.2 2 = - 2 2

Passo 4

Agora vamos juntar tudo. Começando com g u

∂ g ∂ u u 0 , v 0 = ∂ f ∂ x x 0 , y 0 ∂ x ∂ u u 0 , v 0 + ∂ f ∂ y x 0 , y 0 ∂ y ∂ u u 0 , v 0

Vamos arrumar essa bagunça, trocando u 0 e v 0 pelo valor deles para ficar mais apresentável ne?

∂ g ∂ u 0,0 = ∂ f ∂ x x 0 , y 0 ∂ x ∂ u 0,0 + ∂ f ∂ y x 0 , y 0 ∂ y ∂ u 0,0

Opa, ficou um x 0 e y 0 ali. Mas já achamos esses valores:

x 0 = 0

y 0 = 2

Jogando na fórmula

∂ g ∂ u 0,0 = ∂ f ∂ x 0 , 2 ∂ x ∂ u 0,0 + ∂ f ∂ y 0 , 2 ∂ y ∂ u 0,0

Todas as derivadas nós temos

x u 0,0 = 1           ,           y u 0,0 = 2

∂ f ∂ x 0 , 2 = 0

∂ f ∂ y 0 , 2 = - 2 2

Jogando na fórmula

∂ g ∂ u 0,0 = 0.1 + 2 . - 2 2 = - 4

Passo 5

Vamos fazer a mesma coisa agora para g v

∂ g ∂ v u 0 , v 0 = ∂ f ∂ x x 0 , y 0 ∂ x ∂ v u 0 , v 0 + ∂ f ∂ y x 0 , y 0 ∂ y ∂ v u 0 , v 0

Vamos arrumar essa bagunça, trocando u 0 e v 0 pelo valor deles para ficar mais apresentável ne?

∂ g ∂ v 0,0 = ∂ f ∂ x x 0 , y 0 ∂ x ∂ v 0,0 + ∂ f ∂ y x 0 , y 0 ∂ y ∂ v 0,0

Opa, ficou um x 0 e y 0 ali. Mas já achamos esses valores:

x 0 = 0

y 0 = 2

Jogando na fórmula

∂ g ∂ v 0,0 = ∂ f ∂ x 0 , 2 ∂ x ∂ v 0,0 + ∂ f ∂ y 0 , 2 ∂ y ∂ v 0,0

Todas as derivadas nós temos

x v 0,0 = 2           ,           y v 0,0 = 3

∂ f ∂ x 0 , 2 = 0

∂ f ∂ y 0 , 2 = - 2 2

Jogando na fórmula

∂ g ∂ v 0,0 = 0 . 2 + 3 . - 2 2 = - 6 2

Passo 6

O gradiente então vai ser:

∇ g 0,0 = - 4 , - 6 2

Passo 7

Vamos agora para a letra d

Ele quer a reta normal a

g u , v = - 1

Para isso temos que achar o vetor normal n → , para substituir na fórmula da reta

r t = P 0 + n → t

Onde o P 0 é o ponto 0,0 , que foi o que ele pediu

Passo 8

O vetor normal será n → = ∇ g 0,0 :

Mas já achamos

n → = - 4 , - 6 2

Passo 9

Substituir nas equações da reta:

r t = 0,0 + - 4 , - 6 2 t

r t = - 4 t , - 6 2 t

Resposta

a)

∇ g 0,0 = - 4 , - 6 2

b)

r t = - 4 t , - 6 2 t

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Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = r cos ⁡ θ e y = r sen ⁡ θ , (a) determine ∂ z / ∂ r e ∂ z / ∂ θ e (b) mostre que ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ r 2 +
Se z = f ( x , y ) , onde x = s + t e y = s - t , mostre que ∂ z ∂ x 2 - ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ s ∂ z ∂ t
Use a regra da cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t z = arcsin ⁡ x - y x = s 2 + t 2 y = 1 - 2 s t
Use a regra da cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t z = sin ⁡ θ ⋅ cos ⁡ ϕ θ = s t 2 ϕ = s 2 t
Se z = f x , y , onde f é diferenciável, e x = g t; y = h t g 3 = 2 ; h 3 = 7 g ' 3 = 5; h ' 3 = - 4 f x 2,7 = 6; f y 2,7 = - 8 Determine d z d t quando t = 3 .