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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

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Enunciado

UFF, Cálculo IIB, Listas GMA, Lista 6, exercício 6.

Seja

w = x 2 + y 2 - z ²

x = ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ

y = ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ

z = ρ cos ⁡ ϕ

Calcule w ρ , w ϕ e w θ .

Passo 1

Essa questão vai ser fácil, porém, chata!

Temos que calcular essas derivadas parciais pela regra da cadeia. Assim

∂ w ∂ ρ = ∂ w ∂ x ∂ x ∂ ρ + ∂ w ∂ y ∂ y ∂ ρ + ∂ w ∂ z ∂ z ∂ ρ

∂ w ∂ ϕ = ∂ w ∂ x ∂ x ∂ ϕ + ∂ w ∂ y ∂ y ∂ ϕ + ∂ w ∂ z ∂ z ∂ ϕ

E

∂ w ∂ θ = ∂ w ∂ x ∂ x ∂ θ + ∂ w ∂ y ∂ y ∂ θ + ∂ w ∂ z ∂ z ∂ θ

Passo 2

Vamos começar por w ρ   :

∂ w ∂ ρ = ∂ w ∂ x ∂ x ∂ ρ + ∂ w ∂ y ∂ y ∂ ρ + ∂ w ∂ z ∂ z ∂ ρ

∂ w ∂ ρ = 2 x ∙ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ + 2 y ∙ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ - 2 z ∙ cos ⁡ ϕ

Mas, como

x = ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ

y = ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ

z = ρ cos ⁡ ϕ

Ficamos com

∂ w ∂ ρ = 2 ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ ∙ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ + 2 ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ ∙ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ - 2 ρ cos ⁡ ϕ ∙ cos ⁡ ϕ

∂ w ∂ ρ = 2 ρ sen ² ⁡ ϕ cos ² ⁡ θ + 2 ρ sen ² ⁡ ϕ sen ² ⁡ θ - 2 ρ cos ² ⁡ ϕ

∂ w ∂ ρ = 2 ρ sen 2 ⁡ ϕ cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ - 2 ρ cos 2 ⁡ ϕ )

∂ w ∂ ρ = 2 ρ sen 2 ⁡ ϕ - 2 ρ cos 2 ⁡ ϕ

∂ w ∂ ρ = - 2 ρ ( cos 2 ⁡ ϕ - sen 2 ⁡ ϕ )

∂ w ∂ ρ = - 2 ρ cos ⁡ 2 ϕ

Passo 3

Agora w ϕ :

∂ w ∂ ϕ = ∂ w ∂ x ∂ x ∂ ϕ + ∂ w ∂ y ∂ y ∂ ϕ + ∂ w ∂ z ∂ z ∂ ϕ

∂ w ∂ ϕ = 2 x ∙ ρ cos ⁡ ϕ cos ⁡ θ + 2 y ∙ ρ cos ⁡ ϕ sen ⁡ θ - 2 z ∙ - ρ sen ⁡ ϕ

Mas como

x = ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ

y = ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ

z = ρ cos ⁡ ϕ

Ficamos com

∂ w ∂ ϕ = 2 ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ ∙ ρ cos ⁡ ϕ cos ⁡ θ + 2 ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ ∙ ρ cos ⁡ ϕ sen ⁡ θ - 2 ρ cos ⁡ ϕ ∙ - ρ sen ⁡ ϕ

∂ w ∂ ϕ = 2 ρ ² sen ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ cos 2 ⁡ θ + 2 ρ ² sen ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ sen 2 ⁡ θ + 2 ρ ² cos ⁡ ϕ sen ⁡ ϕ

∂ w ∂ ϕ = 2 ρ ² sen ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ ( cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ + 1 )

∂ w ∂ ϕ = 2 ρ ² sen ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ ( 2 )

∂ w ∂ ϕ = 2 ρ ² sen ⁡ 2 ϕ

Passo 4

Por fim, vamos para w θ :

∂ w ∂ θ = ∂ w ∂ x ∂ x ∂ θ + ∂ w ∂ y ∂ y ∂ θ + ∂ w ∂ z ∂ z ∂ θ

∂ w ∂ θ = 2 x ∙ - ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ + 2 y ∙ ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ - 2 z ∙ 0

Mas como

x = ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ

y = ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ

z = ρ cos ⁡ ϕ

Ficamos com

∂ w ∂ θ = 2 ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ ∙ - ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ + 2 ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ ∙ ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ

∂ w ∂ θ = - 2 ρ ² sen 2 ⁡ ϕ cos ⁡ θ sen ⁡ θ + 2 ρ ² sen ² ⁡ ϕ sen ⁡ θ cos ⁡ θ

∂ w ∂ θ = 0

Passo 5

Criei esse passo aqui só pra reforçar como essa questão foi chata!!

Mas fica ligado nas identidades trigonométricas, porque se a gente não lembrasse delas, não íamos conseguir fazer essa questão .-.

Resposta

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Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = r cos ⁡ θ e y = r sen ⁡ θ , (a) determine ∂ z / ∂ r e ∂ z / ∂ θ e (b) mostre que ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ r 2 +
Se z = f ( x , y ) , onde x = s + t e y = s - t , mostre que ∂ z ∂ x 2 - ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ s ∂ z ∂ t
Use a regra da cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t z = arcsin ⁡ x - y x = s 2 + t 2 y = 1 - 2 s t
Use a regra da cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t z = sin ⁡ θ ⋅ cos ⁡ ϕ θ = s t 2 ϕ = s 2 t
Se z = f x , y , onde f é diferenciável, e x = g t; y = h t g 3 = 2 ; h 3 = 7 g ' 3 = 5; h ' 3 = - 4 f x 2,7 = 6; f y 2,7 = - 8 Determine d z d t quando t = 3 .