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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

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Enunciado

Sejam f   : R 2 → R uma função diferenciável tal que f 0,0 = 1 e g x , y = f ( f x , y , y ) . Sabendo que

∇ f 0,0 = ( 2,3 )

∇ f 1,0 = ( 3,2 )

Podemos afirmar que

  1. ∇ g 0,0 = ( 11,6 )
  2. ∇ g 0,0 = ( 6,6 )
  3. ∇ g 0,0 = ( 9,8 )
  4. ∇ g 0,0 = ( 6,11 )
  5. ∇ g 0,0 = ( 9,6 )

Passo 1

A primeira coisa é a gente entender que a nossa função g x ' , y ' = f ( f x , y , y ) é uma função composta, onde

x ' = f ( x , y )

y ' = y

E lembrando que queremos encontrar as derivadas parciais de g em relação a x e em relação a y no ponto ( 0,0 ) .

Acontece, que nesse ponto, nosso x ' e y ' valem:

x ' = f 0,0 = 1

y ' = 0

Além disso, sabemos também do enunciado que

∇ f 0,0 = ∂ f ∂ x 0,0 , ∂ f ∂ y 0,0 = ( 2,3 )

∇ f 1 , 0 = ∂ f ∂ x 1 , 0 , ∂ f ∂ y 1 , 0 = ( 3 , 2 )

Passo 2

Agora vamos fazer a derivada dessa função composta, tanto em relação a x quanto em relação a y para achar o gradiente dela, ok?

Vamos começar com a derivada parcial em relação ao nosso x :

∂ g ∂ x = ∂ f ∂ x ' ∂ x ' ∂ x + ∂ f ∂ y ' ∂ y ' ∂ x

No ponto ( 0,0 ) :

∂ g ∂ x ( 0,0 ) = ∂ f ∂ x ' ( 1 , 0 ) ∂ x ' ∂ x ( 0 , 0 ) + ∂ f ∂ y ' ( 1 , 0 ) ∂ y ' ∂ x ( 0 , 0 )

Agora para a derivada parcial em relação a y , o raciocínio é o mesmo e temos:

∂ g ∂ y = ∂ f ∂ x ' ∂ x ' ∂ y + ∂ f ∂ y ' ∂ y ' ∂ y

No ponto ( 0,0 ) :

∂ g ∂ y ( 0,0 ) = ∂ f ∂ x ' ( 1 , 0 ) ∂ x ' ∂ y ( 0 , 0 ) + ∂ f ∂ y ' ( 1 , 0 ) ∂ y ' ∂ y ( 0 , 0 )

Passo 3

E agora vamos calcular essas derivadas para substituir.

Como x ' = f ( x , y )

As derivadas de x ' são nada mais nada menos do que as derivadas de f em relação a x e em relação a y , calculadas no ponto ( 1,0 ) .

Como

y ' = y

As derivadas de y ' vão ser 1 em relação a y e 0 em relação a x .

E para as derivadas de f em relação a x ' e y ' teremos que derivar a função f em relação a x e em relação a y .

Eu sei, é a maior confusão mesmo.....

Passo 4

Mas vamos tentar substituir e vê se a gente chega na resposta.

Voltando as nossas formulas:

∂ g ∂ x ( 0,0 ) = ∂ f ∂ x ' ( 1,0 ) ∂ x ' ∂ x ( 0,0 ) + ∂ f ∂ y ' ( 1,0 ) ∂ y ' ∂ x ( 0,0 )

∂ g ∂ x 0,0 = ∂ f ∂ x 1 , 0 ∂ f ∂ x 0 , 0 + ∂ f ∂ y 1 , 0 ∙ 0

∂ g ∂ x 0,0 = 3 ∙ 2 + 2 ∙ 0 = 6

E

∂ g ∂ y ( 0,0 ) = ∂ f ∂ x ' ( 1,0 ) ∂ x ' ∂ y ( 0,0 ) + ∂ f ∂ y ' ( 1,0 ) ∂ y ' ∂ y ( 0,0 )

∂ g ∂ y 0,0 = ∂ f ∂ x 1 , 0 ∂ f ∂ y 0 , 0 + ∂ f ∂ y 1 , 0 ∙ 1

∂ g ∂ y 0,0 = 3 ∙ 3 + 2 ∙ 1 = 11

Resposta

Letra d

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Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = r cos ⁡ θ e y = r sen ⁡ θ , (a) determine ∂ z / ∂ r e ∂ z / ∂ θ e (b) mostre que ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ r 2 +
Se z = f ( x , y ) , onde x = s + t e y = s - t , mostre que ∂ z ∂ x 2 - ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ s ∂ z ∂ t
Use a regra da cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t z = arcsin ⁡ x - y x = s 2 + t 2 y = 1 - 2 s t
Use a regra da cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t z = sin ⁡ θ ⋅ cos ⁡ ϕ θ = s t 2 ϕ = s 2 t
Se z = f x , y , onde f é diferenciável, e x = g t; y = h t g 3 = 2 ; h 3 = 7 g ' 3 = 5; h ' 3 = - 4 f x 2,7 = 6; f y 2,7 = - 8 Determine d z d t quando t = 3 .