Dado
- Expresse , e como funções de e usando a regra da cadeia e também expressando diretamente em termos de e antes de diferenciar.
- Calcule , e no ponto
Passo 1
Vamos fazer primeiro pela regra da cadeia.
Para isso, precisamos calcular o gradiente de , , e .
Começando por :
Passo 2
Gradiente de
Passo 3
Gradiente de :
Passo 4
Gradiente de :
Passo 5
Agora vamos substituir o que encontramos nas fórmulas da regra da cadeia.
Para a derivada em relação a :
Para a derivada em relação a :
E, para a derivada em relação a :
Passo 6
Agora vamos substituir e na expressão de para calcular as derivadas parciais.
Passo 7
Calculando :
Calculando
Calculando
Igual aos resultados que obtivemos antes
Passo 8
Como já temos as expressões de , e em função de e , só temos que substituir no ponto .
Então:
E
Resposta
E
Exercícios de Livros Relacionados
Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = r cos θ e y = r sen θ , (a) determine ∂ z / ∂ r e ∂ z / ∂ θ e (b) mostre que ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ r 2 +
Se z = f ( x , y ) , onde x = s + t e y = s - t , mostre que ∂ z ∂ x 2 - ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ s ∂ z ∂ t
Use a regra da cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t z = arcsin x - y x = s 2 + t 2 y = 1 - 2 s t
Use a regra da cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t z = sin θ ⋅ cos ϕ θ = s t 2 ϕ = s 2 t
Se z = f x , y , onde f é diferenciável, e x = g t; y = h t g 3 = 2 ; h 3 = 7 g ' 3 = 5; h ' 3 = - 4 f x 2,7 = 6; f y 2,7 = - 8 Determine d z d t quando t = 3 .