Seja f(x, y) uma função diferenciável. Defina

ϕ(s, t) = f(x(s, t), y(s, t))

Onde

x = x(s, t) = s / t

y = y|s,t = t / s

Calcule

s(∂ϕ/∂s) + t(∂ϕ/∂t)

Passo 1

Para calcular a expressão pedida, temos que calcular essas derivadas parciais. E para isso, precisamos usar a regra da cadeia de dois parâmetros, pois a nossa função ϕ é uma função composta de f , onde f é uma função de duas variáveis x e y e essas duas variáveis são funções de outras duas variáveis s e t .

Assim, temos

∂ ϕ ∂ s = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ s + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ s

E

∂ ϕ ∂ t = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ t + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ t

Passo 2

Vamos começar por ∂ ϕ ∂ s :

∂ ϕ ∂ s = ∂ f ∂ x 1 t + ∂ f ∂ y - t s 2

Agora ∂ ϕ ∂ t :

∂ ϕ ∂ t = ∂ f ∂ x - s t 2 + ∂ f ∂ y 1 s

Passo 3

Substituindo agora na expressão que precisamos calcular, temos:

s ∂ ϕ ∂ s + t   ∂ ϕ ∂ t = s ∂ f ∂ x 1 t + ∂ f ∂ y - t s 2 + t   ∂ f ∂ x - s t 2 + ∂ f ∂ y 1 s =

s ∂ ϕ ∂ s + t   ∂ ϕ ∂ t = ∂ f ∂ x s t - ∂ f ∂ y t s - ∂ f ∂ x s t + ∂ f ∂ y t s

s ∂ ϕ ∂ s + t   ∂ ϕ ∂ t = ∂ f ∂ x s t - s t + ∂ f ∂ y t s - t s

s ∂ ϕ ∂ s + t   ∂ ϕ ∂ t = 0

Resposta

s ∂ ϕ ∂ s + t   ∂ ϕ ∂ t = 0

Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

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