Seja f(x, y) uma função diferenciável. Defina

ϕ(s, t) = f(x(s, t), y(s, t))

Onde

x = x(s, t) = s / t

y = y|s,t = t / s

Calcule

s(∂ϕ/∂s) + t(∂ϕ/∂t)

Passo 1

Para calcular a expressão pedida, temos que calcular essas derivadas parciais. E para isso, precisamos usar a regra da cadeia de dois parâmetros, pois a nossa função ϕ é uma função composta de f , onde f é uma função de duas variáveis x e y e essas duas variáveis são funções de outras duas variáveis s e t .

Assim, temos

∂ ϕ ∂ s = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ s + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ s

E

∂ ϕ ∂ t = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ t + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ t

Passo 2

Vamos começar por ∂ ϕ ∂ s :

∂ ϕ ∂ s = ∂ f ∂ x 1 t + ∂ f ∂ y - t s 2

Agora ∂ ϕ ∂ t :

∂ ϕ ∂ t = ∂ f ∂ x - s t 2 + ∂ f ∂ y 1 s

Passo 3

Substituindo agora na expressão que precisamos calcular, temos:

s ∂ ϕ ∂ s + t   ∂ ϕ ∂ t = s ∂ f ∂ x 1 t + ∂ f ∂ y - t s 2 + t   ∂ f ∂ x - s t 2 + ∂ f ∂ y 1 s =

s ∂ ϕ ∂ s + t   ∂ ϕ ∂ t = ∂ f ∂ x s t - ∂ f ∂ y t s - ∂ f ∂ x s t + ∂ f ∂ y t s

s ∂ ϕ ∂ s + t   ∂ ϕ ∂ t = ∂ f ∂ x s t - s t + ∂ f ∂ y t s - t s

s ∂ ϕ ∂ s + t   ∂ ϕ ∂ t = 0

Resposta

s ∂ ϕ ∂ s + t   ∂ ϕ ∂ t = 0

Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

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Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f(x, y) , onde x = r * cos(θ) e y = r * sen(θ) , (a) determine ∂z/∂r e ∂z/∂θ e (b) mostre que ( ∂z/∂x )^2 + ( ∂z/∂y )^2 = ( ∂z/∂r )^2 + 1/r
Se z = f ( x , y ) , onde x = s + t e y = s - t , mostre que ∂ z ∂ x 2 - ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ s ∂ z ∂ t
Use a regra da cadeia para achar ∂z / ∂s e ∂z / ∂t z = sen(θ) ⋅ cos(ϕ) θ = s * t^2 ϕ = s^2 t
Use o diagrama em arvore para escrever a regra da cadeia para o caso dado. Assuma que todas as funções são diferenciáveis.w = f(x, y, z) Ondex = x(u, v) y = y(u, v) z = z(u, v)
O comprimento l , a largura w e a altura h de uma caixa variam com o tempo. Em um determinado momento, as dimensões são l = 1 m e w = h = 2 m , l e w estão aumentando em uma taxa de 2 * m / s enquanto