Seja f(x, y) uma função diferenciável tal que f(0,0) = 1 , f(1,0) = 2 , ∂f/∂x | 1,0 = 1 e ∂f/∂y|1,0 = 2 . Seja

g(u, v) = (f(u + cos(v), u - v))^2

Quanto valem ∂g / ∂u (0,0) e ∂g / ∂v | 0,0 , respectivamente?

(a) 6 e -2 ;

(b) 4 e -8 ;

c 3 e -2 ;

d 12 e -8 ;

e 6 e -4 .

Passo 1

Vamos começar estudando o ponto onde ele quer que calculemos as derivadas parciais ∂ g ∂ u 0,0 e ∂ g ∂ v 0,0 . Sabemos que g = g u , v , ou seja, g   é função das variáveis u e v . Logo concluímos que ele quer as derivadas parciais em u = 0 e v = 0

Podemos ainda encontrar o valor de f quando u = 0 e v = 0 . Observe que x = u + cos ⁡ v , y = u - v . Então vamos ter :

f 0 + cos ⁡ 0 , 0 - 0 = f 1,0 = 2

Com x 0 = 1 e y 0 = 0

Passo 2

Nosso trabalho agora é montar as derivadas parcais. Mas nessa questão temos um detalhe, g é uma função composta f por tanto não podemos esquecer de usar a regra da cadeia que aprendemos lá me Cálculo 1. Fica assim:

∂ g ∂ u 0,0 = 2 f 1,0 ∂ f ∂ x 1,0 ∂ x ∂ u 0,0 + 2 f 1,0 ∂ f ∂ y 1,0 ∂ y ∂ u 0,0

E ainda:

∂ g ∂ v 0,0 = 2 f 1,0 ∂ f ∂ x 1,0 ∂ x ∂ v 0,0 + 2 f 1,0 ∂ f ∂ y 1,0 ∂ y ∂ v 0,0

Passo 3

O enunciado nos fornece todas essas informações que precisamos para calcular as derivadas parciais, exceto:

  ∂ x ∂ u 0,0 ;   ∂ x ∂ v 0,0 ;   ∂ y ∂ u 0,0 ; ∂ y ∂ v 0,0

Então bora calcular essa parada. Começando por x :

x = u + cos ⁡ v

∂ x ∂ u 0,0 = 1

∂ x ∂ v 0,0 = - s e n v = - s e n 0 = 0

Agora falta as de y . Temos:

y = u - v

∂ y ∂ u 0,0 = 1

∂ y ∂ v 0,0 = - 1

Passo 4

Basta substituir os valores necessários nas derivadas parciais. Vamos ter:

∂ g ∂ u 0,0 = 2 f 1,0 ∂ f ∂ x 1,0 ∂ x ∂ u 0,0 + 2 f 1,0 ∂ f ∂ y 1,0 ∂ y ∂ u 0,0

∂ g ∂ u 0,0 = 2 2 1 1 + 2 2 2 1 = 4 + 8 = 12

Pra acabar:

∂ g ∂ v 0,0 = 2 f 1,0 ∂ f ∂ x 1,0 ∂ x ∂ v 0,0 + 2 f 1,0 ∂ f ∂ y 1,0 ∂ y ∂ v 0,0

∂ g ∂ v 0,0 = 2 2 1 0 + 2 2 2 - 1 = 0 - 8 = - 8

Resposta

Letra d

Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

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