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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

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Enunciado

UFRJ, Cálculo 2, P2 2016.1, questão 7

Seja f x , y uma função diferenciável tal que f 0,0 = 1 , f 1,0 = 2 , ∂ f ∂ x 1,0 = 1 e ∂ f ∂ y 1,0 = 2 . Seja

g u , v = f u + cos ⁡ v , u - v 2

Quanto valem ∂ g ∂ u 0,0 e ∂ g ∂ v 0,0 , respectivamente?

a 6 e - 2 ;

b 4 e - 8 ;

c 3 e - 2 ;

d 12 e - 8 ;

e 6 e - 4 .

Passo 1

Vamos começar estudando o ponto onde ele quer que calculemos as derivadas parciais ∂ g ∂ u 0,0 e ∂ g ∂ v 0,0 . Sabemos que g = g u , v , ou seja, g   é função das variáveis u e v . Logo concluímos que ele quer as derivadas parciais em u = 0 e v = 0

Podemos ainda encontrar o valor de f quando u = 0 e v = 0 . Observe que x = u + cos ⁡ v , y = u - v . Então vamos ter :

f 0 + cos ⁡ 0 , 0 - 0 = f 1,0 = 2

Com x 0 = 1 e y 0 = 0

Passo 2

Nosso trabalho agora é montar as derivadas parcais. Mas nessa questão temos um detalhe, g é uma função composta f por tanto não podemos esquecer de usar a regra da cadeia que aprendemos lá me Cálculo 1. Fica assim:

∂ g ∂ u 0,0 = 2 f 1,0 ∂ f ∂ x 1,0 ∂ x ∂ u 0,0 + 2 f 1,0 ∂ f ∂ y 1,0 ∂ y ∂ u 0,0

E ainda:

∂ g ∂ v 0,0 = 2 f 1,0 ∂ f ∂ x 1,0 ∂ x ∂ v 0,0 + 2 f 1,0 ∂ f ∂ y 1,0 ∂ y ∂ v 0,0

Passo 3

O enunciado nos fornece todas essas informações que precisamos para calcular as derivadas parciais, exceto:

  ∂ x ∂ u 0,0 ;   ∂ x ∂ v 0,0 ;   ∂ y ∂ u 0,0 ; ∂ y ∂ v 0,0

Então bora calcular essa parada. Começando por x :

x = u + cos ⁡ v

∂ x ∂ u 0,0 = 1

∂ x ∂ v 0,0 = - s e n v = - s e n 0 = 0

Agora falta as de y . Temos:

y = u - v

∂ y ∂ u 0,0 = 1

∂ y ∂ v 0,0 = - 1

Passo 4

Basta substituir os valores necessários nas derivadas parciais. Vamos ter:

∂ g ∂ u 0,0 = 2 f 1,0 ∂ f ∂ x 1,0 ∂ x ∂ u 0,0 + 2 f 1,0 ∂ f ∂ y 1,0 ∂ y ∂ u 0,0

∂ g ∂ u 0,0 = 2 2 1 1 + 2 2 2 1 = 4 + 8 = 12

Pra acabar:

∂ g ∂ v 0,0 = 2 f 1,0 ∂ f ∂ x 1,0 ∂ x ∂ v 0,0 + 2 f 1,0 ∂ f ∂ y 1,0 ∂ y ∂ v 0,0

∂ g ∂ v 0,0 = 2 2 1 0 + 2 2 2 - 1 = 0 - 8 = - 8

Resposta

Letra d

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Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = r cos ⁡ θ e y = r sen ⁡ θ , (a) determine ∂ z / ∂ r e ∂ z / ∂ θ e (b) mostre que ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ r 2 +
Se z = f ( x , y ) , onde x = s + t e y = s - t , mostre que ∂ z ∂ x 2 - ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ s ∂ z ∂ t
Use a regra da cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t z = arcsin ⁡ x - y x = s 2 + t 2 y = 1 - 2 s t
Use a regra da cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t z = sin ⁡ θ ⋅ cos ⁡ ϕ θ = s t 2 ϕ = s 2 t
Se z = f x , y , onde f é diferenciável, e x = g t; y = h t g 3 = 2 ; h 3 = 7 g ' 3 = 5; h ' 3 = - 4 f x 2,7 = 6; f y 2,7 = - 8 Determine d z d t quando t = 3 .