Determine ∂f / ∂s e ∂f / ∂t da função f(x, y) = x^2 + xy + y^2 , tendo x = s + t e y = st

Passo 1

Tranquilo, só a gente jogar na fórmula da regra da cadeia!

∂ f ∂ s = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ s + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ s

E

∂ f ∂ t = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ t + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ t

Passo 2

Vamos, então, calcular o gradiente de f ( x , y ) :

f x , y = x 2 + x y + y 2

∇ f x , y = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y = ( 2 x + y , x + 2 y )

Passo 3

Ok, agora vamos calcular o gradiente de x :

x ( s , t ) = s + t

∇ x s , t = ∂ x ∂ s , ∂ x ∂ t = 1,1

Passo 4

E o gradiente de y :

y ( s , t ) = s t

∇ y s , t = ∂ y ∂ s , ∂ y ∂ t = ( t , s )

Passo 5

Perfeito! Conseguimos tudo o que precisávamos. Agora é só pegar os valores encontrados e jogar nas fórmulas do passo 1 !

A derivada de f em relação a s fica:

∂ f ∂ s = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ s + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ s

∂ f ∂ s = 2 x + y . 1 + x + 2 y . t

∂ f ∂ s = 2 x + y + x t + 2 y t

E a derivada de f em relação a t fica:

∂ f ∂ t = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ t + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ t

∂ f ∂ t = 2 x + y . 1 + x + 2 y . s

∂ f ∂ t = 2 x + y + x s + 2 y s

Resposta

∂ f ∂ s = 2 x + y + x t + 2 y t

∂ f ∂ t = 2 x + y + x s + 2 y s

Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

Ver Teoria

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f(x, y) , onde x = r * cos(θ) e y = r * sen(θ) , (a) determine ∂z/∂r e ∂z/∂θ e (b) mostre que ( ∂z/∂x )^2 + ( ∂z/∂y )^2 = ( ∂z/∂r )^2 + 1/r
Se z = f ( x , y ) , onde x = s + t e y = s - t , mostre que ∂ z ∂ x 2 - ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ s ∂ z ∂ t
Use a regra da cadeia para achar ∂z / ∂s e ∂z / ∂t z = sen(θ) ⋅ cos(ϕ) θ = s * t^2 ϕ = s^2 t
Use o diagrama em arvore para escrever a regra da cadeia para o caso dado. Assuma que todas as funções são diferenciáveis.w = f(x, y, z) Ondex = x(u, v) y = y(u, v) z = z(u, v)
O comprimento l , a largura w e a altura h de uma caixa variam com o tempo. Em um determinado momento, as dimensões são l = 1 m e w = h = 2 m , l e w estão aumentando em uma taxa de 2 * m / s enquanto