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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

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Enunciado

UNICAMP – Cálculo 2 – 2021.1 - Provas – P1 Noturno – Questão 2

Seja

f x , y = e 4 - x 2 - y ²

a) Calcule o vetor gradiente da função f no ponto P(1,1).

b) Calcule a derivada direcional da função f no ponto (1,1) e na direção do vetor v = - 1,2 .

c) Determine a direção segundo a qual D v f ( 1,1 ) é máxima e determine a taxa máxima nesse ponto.

Passo 1

Fala galera, beleza? Bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

a) Para calcularmos o vetor gradiente, antes precisamos calcular as derivadas parciais da função pois:

∇ f x , y = ( ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y )

Então vamos la:

f x , y = e 4 - x 2 - y ²

∂ f ∂ x x , y = - x e 4 - x 2 - y ² 4 - x 2 - y ²

∂ f ∂ y x , y = - y e 4 - x 2 - y ² 4 - x 2 - y ²

Aplicando o ponto P(1,1):

∂ f ∂ x 1 , 1 = - e 2 2

∂ f ∂ y 1,1 = - e 2 2

Jogando no vetor:

∇ f 1 , 1 = ( - e 2 2 , - e 2 2 )

Passo 2

b) Beleza, agora vamos calcular a derivada direcional no ponto. Para isso vamos usar a fórmula:

D v f x , y = ∇ f x , y × v → v →

P = ( 1,1 )

v = - 1,2

Vamos começar calculando a norma do vetor:

v → = x 2 + y ²

v → = ( - 1 ) ² + ( 2 ) ²

v → = 1 + 4 = 5

Agora, vamos calcular a razão do vetor pela sua norma:

v → v → = - 1,2 5 = ( - 1 5 , 2 5 )

Show, agora vamos jogar tudo na fórmula da derivada:

∇ f 1,1 = ( - e 2 2 , - e 2 2 )

D v f 1,1 = ∇ f 1,1 × v → v →

D v f 1,1 = ( - e 2 2 , - e 2 2 ) × ( - 1 5 , 2 5 )

D v f 1,1 = e 2 10 - 2 e 2 10 = - e 2 10

Passo 3

c) Beleza, agora para que a nossa derivada direcional seja máxima, a nossa função precisa estar caminhando na direção de um vetor com os mesmos valores do vetor gradiente, então:

D v f 1 , 1 = ∇ f 1 , 1 × v → v →

∇ f 1,1 = ( - e 2 2 , - e 2 2 )

v → = ( - e 2 2 , - e 2 2 )

Vamos começar calculando a norma do vetor:

v → = x 2 + y ²

v → = ( - e 2 2 ) ² + ( - e 2 2 ) ²

v → = e 2 2 2 + e 2 2 2 = e 2

Agora, vamos calcular a razão do vetor pela sua norma:

v → v → = - e 2 2 , - e 2 2 e 2 = ( - 1 2 , - 1 2 )

Show, agora vamos jogar tudo na fórmula da derivada:

∇ f 1,1 = ( - e 2 2 , - e 2 2 )

D v f 1,1 = ∇ f 1,1 × v → v →

D v f 1,1 = ( - e 2 2 , - e 2 2 ) × ( - 1 2 , - 1 2 )

D v f 1,1 = e 2 2 + e 2 2 = e 2

Resposta

a )   ∇ f 1,1 = ( - e 2 2 , - e 2 2 )

b )   D v f 1,1 = - e 2 10

c )   D v f 1,1 = e 2

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Se z = f ( x , y ) , onde x = s + t e y = s - t , mostre que ∂ z ∂ x 2 - ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ s ∂ z ∂ t
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Use a regra da cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t z = sin ⁡ θ ⋅ cos ⁡ ϕ θ = s t 2 ϕ = s 2 t
Se z = f x , y , onde f é diferenciável, e x = g t; y = h t g 3 = 2 ; h 3 = 7 g ' 3 = 5; h ' 3 = - 4 f x 2,7 = 6; f y 2,7 = - 8 Determine d z d t quando t = 3 .