Seja uma função diferenciável. Sejam
E
Suponha que e no ponto. Então,
Passo 1
Temos
Para achar as derivadas parciais, vamos usar a regra da cadeia:
As derivadas parciais de em relação a e a questão já deu pra gente. As derivadas parciais de e de a gente também consegue calcular.
Então vamos mandar ver!
Passo 2
Começamos calculando as derivadas parciais de e :
Substituindo no ponto :
E
No ponto :
Passo 3
Agora vamos substituir os dados que a gente tem.
Para a derivada parcial de em relação a :
E para a derivada parcial de em relação a :
Passo 4
Ficamos então com o sistema:
Arrumando melhor essa parada:
Da segunda equação a gente tira que
Substituindo isso na primeira equação:
Assim,
Passo 5
Agora, pra fechar, vamos substituir na equação que a questão quer saber:
Prontinho!
Resposta
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Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = r cos θ e y = r sen θ , (a) determine ∂ z / ∂ r e ∂ z / ∂ θ e (b) mostre que ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ r 2 +
Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = s + t e y = s - t , mostre que ∂ z ∂ x 2 - ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ s ∂ z ∂ t