Seja uma função diferenciável. Sejam
E
Suponha que e no ponto. Então,
Passo 1
Temos
Para achar as derivadas parciais, vamos usar a regra da cadeia:
As derivadas parciais de em relação a e a questão já deu pra gente. As derivadas parciais de e de a gente também consegue calcular.
Então vamos mandar ver!
Passo 2
Começamos calculando as derivadas parciais de e :
Substituindo no ponto :
E
No ponto :
Passo 3
Agora vamos substituir os dados que a gente tem.
Para a derivada parcial de em relação a :
E para a derivada parcial de em relação a :
Passo 4
Ficamos então com o sistema:
Arrumando melhor essa parada:
Da segunda equação a gente tira que
Substituindo isso na primeira equação:
Assim,
Passo 5
Agora, pra fechar, vamos substituir na equação que a questão quer saber:
Prontinho!