Se
diferenciável em , mostre que
Passo 1
Primeiro, vamos entender quem é .
é uma função que é o produto de com uma outra função onde
Agora, para provar esse igualdade ai, precisamos encontrar as derivadas parciais de .
Passo 2
Começando por :
Pela regra do produto, temos:
Para calcular precisamos da regra da cadeia:
Assim:
Passo 3
Agora :
Usando a regra da cadeia para calcular :
Assim:
Passo 4
Agora :
Usando a regra da cadeia para calcular :
Assim
Passo 5
-
Vamos substituir nossos resultados nessa expressão agora:
Temos
Agrupando os termos temos:
Assim,
Como queríamos demonstrar. UFA!
Questãozinha chata, né? rs
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro
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Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f(x, y) , onde x = r * cos(θ) e y = r * sen(θ) , (a) determine ∂z/∂r e ∂z/∂θ e (b) mostre que ( ∂z/∂x )^2 + ( ∂z/∂y )^2 = ( ∂z/∂r )^2 + 1/r
Se z = f ( x , y ) , onde x = s + t e y = s - t , mostre que ∂ z ∂ x 2 - ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ s ∂ z ∂ t
Use a regra da cadeia para achar ∂z / ∂s e ∂z / ∂t z = sen(θ) ⋅ cos(ϕ) θ = s * t^2 ϕ = s^2 t
Use o diagrama em arvore para escrever a regra da cadeia para o caso dado. Assuma que todas as funções são diferenciáveis.w = f(x, y, z) Ondex = x(u, v) y = y(u, v) z = z(u, v)
O comprimento l , a largura w e a altura h de uma caixa variam com o tempo. Em um determinado momento, as dimensões são l = 1 m e w = h = 2 m , l e w estão aumentando em uma taxa de 2 * m / s enquanto