Derivadas Parciais e o Vetor Gradiente, Regra da Cadeia
Seja
em que
a) Calcule e em função de , , e .
b) Calcule e em função , , e .
c) Suponha, agora, que . Descubra a constante que satisfaz:
Passo 1
a) Aqui tudo o que temos que fazer é usar a regra da cadeia! Veja, colocando e na função , teremos:
Jogando a regra da cadeia na parada, temos:
Show? Agora, só precisamos encontrar e , pois o enunciado pede pra deixar em função de e ;)
Passo 2
Encontrando a derivada parcial de em relação a , temos:
E, para , teremos:
Colocando esses valores na expressão para a derivada de em relação a , teremos:
Passo 3
Beleza, agora temos que fazer o mesmo para , certo? Pela regra da cadeia, temos:
Encontrando a derivada parcial de em relação a , temos:
E, para , temos:
Colocando esses valores na expressão de , teremos:
Prontinho :D só isso para o item !
Passo 4
b) Bom, já temo e em função de , , e . Para encontrar e em função do resto, é simplesmente resolver um sistema! Temos essas duas equações:
E agora é só dar um jeito de isolar o e o !
Show, começando pelo , podemos multiplicar a equação de baixo por , e teremos:
Agora, se somarmos com a equação de cima, teremos:
E, com isso, cancelamos o termos :
Podemos, agora, colocar o em evidência, e fica:
E, isolando ele, temos:
E pronto, aí já está o em função de , , e :D
Passo 5
Agora, temos que encontrar a expressão para o , da mesma forma que fizemos para o . Lembrando das duas equações:
Podemos multiplicar a de cima por , e teremos:
E, multiplicando a segunda por , temos:
Agora, somando uma com a outra, temos:
E, assim, cancelamos o , e temos:
Colocando o em evidência, teremos:
E, por fim, isolando ele, fica:
Passo 6
c) Para encontrar essa constante , o que temos que fazer é desenvolver a expressão que ela vale:
Sabemos, agora que , certo? Então, , e , pois basta derivar em relação a e a !
Sabendo disso, podemos ver quanto vale e , pelas expressões do item anterior:
Substituindo e , temos:
Fazendo o mesmo para , temos:
Passo 7
Colocando, agora, tudo na expressão que temos para ,
Colocando os valores para e que nos deram em função de e , fica:
Agora, vamos simplificando as expressões até encontrar algum valor! Perceba que esse do lado esquerdo corta com o do denominador da fração que ele multiplica:
E o corta com o :
E o que está multiplicando pode ser cortado em cima e embaixo:
E, ainda podemos colocar que , e, então, teremos:
Cortando, agora, o , temos:
Ou seja, a constante é vale , pois a expressão foi zerada!
Resposta
a) e
b) e
c)