Considere as funções f , g e h tais que f(x, y) = (xy, x^2 + y, x - y) , g(u, v, w) = 2 * w * ln(u * v) e h(s) ∈ R . Seja H(x, y) = h o g o f (x, y) , h derivável em R .

  1. Para ser possível calcular ∂H/∂x |_(1,3) , para que valor de s é preciso conhecer h' (s) ?
  2. Supondo que para o valor de s do item anterior, h'(s) = 5 , calcule ∂H/∂x |_(1,3) .

Passo 1

a )

Essa função aí é uma zona só. A nossa função é

H x , y = h s

Onde vamos ter s =   g f x , y

Para derivar H em relação a x temos que usar a regra da cadeia, como é uma função de uma variável vai ficar

∂ H ∂ x = h ' s . ∂ s ∂ x

O valor de s só entra em h ' s então não vamos nos preocupar por enquanto em ∂ s ∂ x , temos primeiro que saber

s =   g f x , y

Passo 2

Primeiro precisamos de f 1,3

f 1,3 = 1.3 , 1 2 + 3,1 - 3 = 3,4 , - 2

Agora precisamos achar

g 3,4 , - 2 = 2 - 2 ln ⁡ 4.3 = - 4 ln ⁡ 12

Vamos ter então

s = - 4 ln ⁡ 12

Passo 3

b )

Lembrando que a derivada vai ser

∂ H ∂ x = h ' s . ∂ s ∂ x

Já temos h ' s , precisamos achar ∂ s ∂ x , vulgo ∂ g ∂ x que vamos usar a regra da cadeia.

Primeiro fazemos o vetor gradiente de g

∇ g = ∂ g ∂ u , ∂ g ∂ v , ∂ g ∂ w = 2 w v u v , 2 w u u v , 2 ln ⁡ u v = 2 w u , 2 w v , 2 ln ⁡ u v

Agora temos que achar o gradiente na parametrização, no caso de x = 1 e y = 3 vimos que

u , v , w = 3,4 , - 2

Então

∇ g 3,4 , - 2 = 2 - 2 3 , 2 - 2 4 , 2 ln ⁡ 3.4 = - 4 3 , - 1,2 ln ⁡ 12

Passo 4

Temos que achar ∂ f ∂ x agora, lembra como faz?

Lembrando que

u = x y

v = x 2 + y

w = x - y

Ou seja f x , y é a parametrização com duas variáveis. Então

∂ f ∂ x = ∂ u ∂ x , ∂ v ∂ x , ∂ w ∂ x = y , 2 x , 1

Agora fazemos ∂ f ∂ x no ponto 1,3

∂ f ∂ x 1,3 = 3,2 , 1

Passo 5

Vamos ter

∂ g ∂ x = 3,2 , 1 ∙ - 4 3 , - 1,2 ln ⁡ 12 = - 4 - 2 + 2 ln ⁡ 12 = - 6 + 2 ln ⁡ 12

Passo 6

A derivada que queremos é

∂ H ∂ x = h ' s . ∂ s ∂ x

Já achamos ∂ s ∂ x e temos h ' s então

∂ H ∂ x = 5 . - 6 + 2 ln ⁡ 12 = - 30 + 10 ln ⁡ 12

Resposta

- 30 + 10 ln ⁡ 12

Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

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Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f(x, y) , onde x = r * cos(θ) e y = r * sen(θ) , (a) determine ∂z/∂r e ∂z/∂θ e (b) mostre que ( ∂z/∂x )^2 + ( ∂z/∂y )^2 = ( ∂z/∂r )^2 + 1/r
Se z = f ( x , y ) , onde x = s + t e y = s - t , mostre que ∂ z ∂ x 2 - ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ s ∂ z ∂ t
Use a regra da cadeia para achar ∂z / ∂s e ∂z / ∂t z = sen(θ) ⋅ cos(ϕ) θ = s * t^2 ϕ = s^2 t
Use o diagrama em arvore para escrever a regra da cadeia para o caso dado. Assuma que todas as funções são diferenciáveis.w = f(x, y, z) Ondex = x(u, v) y = y(u, v) z = z(u, v)
O comprimento l , a largura w e a altura h de uma caixa variam com o tempo. Em um determinado momento, as dimensões são l = 1 m e w = h = 2 m , l e w estão aumentando em uma taxa de 2 * m / s enquanto