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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

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Enunciado

UFF, Cálculo IIB, Listas GMA, Lista 6, questão 11

Considere as funções f , g e h tais que f x , y = x y , x 2 + y , x - y , g u , v , w = 2 w ln ⁡ u v e h s ∈ R . Seja H x , y = h ∘ g ∘ f x , y , h derivável em R .

  1. Para ser possível calcular ∂ H ∂ x 1,3 , para que valor de s é preciso conhecer h ' s ?
  2. Supondo que para o valor de s do item anterior, h ' s = 5 , calcule ∂ H ∂ x 1,3 .

Passo 1

a )

Essa função aí é uma zona só. A nossa função é

H x , y = h s

Onde vamos ter s =   g f x , y

Para derivar H em relação a x temos que usar a regra da cadeia, como é uma função de uma variável vai ficar

∂ H ∂ x = h ' s . ∂ s ∂ x

O valor de s só entra em h ' s então não vamos nos preocupar por enquanto em ∂ s ∂ x , temos primeiro que saber

s =   g f x , y

Passo 2

Primeiro precisamos de f 1,3

f 1,3 = 1.3 , 1 2 + 3,1 - 3 = 3,4 , - 2

Agora precisamos achar

g 3,4 , - 2 = 2 - 2 ln ⁡ 4.3 = - 4 ln ⁡ 12

Vamos ter então

s = - 4 ln ⁡ 12

Passo 3

b )

Lembrando que a derivada vai ser

∂ H ∂ x = h ' s . ∂ s ∂ x

Já temos h ' s , precisamos achar ∂ s ∂ x , vulgo ∂ g ∂ x que vamos usar a regra da cadeia.

Primeiro fazemos o vetor gradiente de g

∇ g = ∂ g ∂ u , ∂ g ∂ v , ∂ g ∂ w = 2 w v u v , 2 w u u v , 2 ln ⁡ u v = 2 w u , 2 w v , 2 ln ⁡ u v

Agora temos que achar o gradiente na parametrização, no caso de x = 1 e y = 3 vimos que

u , v , w = 3,4 , - 2

Então

∇ g 3,4 , - 2 = 2 - 2 3 , 2 - 2 4 , 2 ln ⁡ 3.4 = - 4 3 , - 1,2 ln ⁡ 12

Passo 4

Temos que achar ∂ f ∂ x agora, lembra como faz?

Lembrando que

u = x y

v = x 2 + y

w = x - y

Ou seja f x , y é a parametrização com duas variáveis. Então

∂ f ∂ x = ∂ u ∂ x , ∂ v ∂ x , ∂ w ∂ x = y , 2 x , 1

Agora fazemos ∂ f ∂ x no ponto 1,3

∂ f ∂ x 1,3 = 3,2 , 1

Passo 5

Vamos ter

∂ g ∂ x = 3,2 , 1 ∙ - 4 3 , - 1,2 ln ⁡ 12 = - 4 - 2 + 2 ln ⁡ 12 = - 6 + 2 ln ⁡ 12

Passo 6

A derivada que queremos é

∂ H ∂ x = h ' s . ∂ s ∂ x

Já achamos ∂ s ∂ x e temos h ' s então

∂ H ∂ x = 5 . - 6 + 2 ln ⁡ 12 = - 30 + 10 ln ⁡ 12

Resposta

- 30 + 10 ln ⁡ 12

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Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = r cos ⁡ θ e y = r sen ⁡ θ , (a) determine ∂ z / ∂ r e ∂ z / ∂ θ e (b) mostre que ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ r 2 +
Se z = f ( x , y ) , onde x = s + t e y = s - t , mostre que ∂ z ∂ x 2 - ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ s ∂ z ∂ t
Use a regra da cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t z = arcsin ⁡ x - y x = s 2 + t 2 y = 1 - 2 s t
Use a regra da cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t z = sin ⁡ θ ⋅ cos ⁡ ϕ θ = s t 2 ϕ = s 2 t
Se z = f x , y , onde f é diferenciável, e x = g t; y = h t g 3 = 2 ; h 3 = 7 g ' 3 = 5; h ' 3 = - 4 f x 2,7 = 6; f y 2,7 = - 8 Determine d z d t quando t = 3 .