Calculo 2 – UNICAMP – P1
- Encontre uma aproximação linear para .
- Seja uma função diferenciável de uma variável e seja . Mostre que .
Passo 1
Esta questão é bem diferente do que estamos acostumados a trabalhar. Agora precisamos derivar uma função que nem conhecemos!
Mas calma, não é nada de outro mundo. E ainda temos uma grande vantagem: nós já sabemos a resposta!
Para resolvermos esta questão, vamos precisar aplicar a regra da cadeia. Mas aí vamos ter que aplica-la sem saber os valores de nossa . Então, vamos fazer tudo com muita calma
Passo 2
Vamos começar determinando as derivadas parciais da nossa função . Para isto, temos:
Aplicando a regra da cadeia, derivamos a função de fora e aplicamoso que temos dentro , e depois multiplicamos pela derivada do que temos dentro . Então,
Como é uma função de uma única variável (vamos chamar aqui de ), podemos reescrever da seguinte forma:
E por fim,
Se repetirmos o mesmo procedimento para a derivada parcial de , vamos obter:
Passo 3
E para finalizarmos a questão, vamos verificar que:
E assim provamos o que a questão nos pediu!
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)