Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

Ver Teoria

Enunciado

  1. Encontre uma aproximação linear para 4,01 2 + 3,98 2 + 2,02 2 .
  2. Seja f uma função diferenciável de uma variável e seja z = f x 2 + y 2 . Mostre que y ∂ z ∂ x - x ∂ z ∂ y = 0 .

Passo 1

Esta questão é bem diferente do que estamos acostumados a trabalhar. Agora precisamos derivar uma função que nem conhecemos!

Mas calma, não é nada de outro mundo. E ainda temos uma grande vantagem: nós já sabemos a resposta!

Para resolvermos esta questão, vamos precisar aplicar a regra da cadeia. Mas aí vamos ter que aplica-la sem saber os valores de nossa f t . Então, vamos fazer tudo com muita calma

Passo 2

Vamos começar determinando as derivadas parciais da nossa função z . Para isto, temos:

∂ z ∂ x = ∂ ∂ x f x 2 + y 2

Aplicando a regra da cadeia, derivamos a função de fora f e aplicamoso que temos dentro x 2 + y 2 , e depois multiplicamos pela derivada do que temos dentro x 2 + y 2 . Então,

∂ z ∂ x = ∂ f ∂ x x 2 + y 2 ⋅ ∂ ∂ x x 2 + y 2

Como f é uma função de uma única variável (vamos chamar aqui de t x , y ), podemos reescrever da seguinte forma:

∂ z ∂ x = f ' x 2 + y 2 ⋅ ∂ ∂ x x 2 + y 2

E por fim,

∂ z ∂ x = f ' x 2 + y 2 ⋅ 2 x

Se repetirmos o mesmo procedimento para a derivada parcial de y , vamos obter:

∂ z ∂ y = ∂ ∂ y f x 2 + y 2 = ∂ f ∂ y x 2 + y 2 ⋅ ∂ ∂ y x 2 + y 2

∂ z ∂ y = f ' x 2 + y 2 ⋅ ∂ ∂ y x 2 + y 2 = f ' x 2 + y 2 ⋅ 2 y

Passo 3

E para finalizarmos a questão, vamos verificar que:

y ∂ z ∂ x - x ∂ z ∂ y = 0

y f ' x 2 + y 2 ⋅ 2 x - x f ' x 2 + y 2 ⋅ 2 y = 0

2 x y f ' x 2 + y 2 - 2 x y f ' x 2 + y 2 = 0

0 = 0

E assim provamos o que a questão nos pediu!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = r cos ⁡ θ e y = r sen ⁡ θ , (a) determine ∂ z / ∂ r e ∂ z / ∂ θ e (b) mostre que ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ r 2 +
Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = s + t e y = s - t , mostre que ∂ z ∂ x 2 - ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ s ∂ z ∂ t