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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

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Enunciado

A variável z é uma função das variáveis x e y implicitamente definida pela equação e z = x y z .

a) Calcule ∂ z ∂ x e ∂ z ∂ y .

b) Se x = 1 + 3 v e y = 2 u + v , determine ∂ z ∂ u e ∂ z ∂ v . Sua resposta deve depender apenas de u , v e z .

Passo 1

Letra a)

Usando derivação implícita dos dois lados da igualdade em relação a x , temos:

∂ ( e z ) ∂ x = ∂ ( x y z ) ∂ x

Aplicando a regra do produto do lado direito:

e z ∂ z ∂ x = ∂ ( x y ) ∂ x z + ∂ z ∂ x x y

Usando novamente a regra do produto:

e z ∂ z ∂ x = y + 0 z + ∂ z ∂ x x y

Isolando a derivada parcial:

∂ z ∂ x = y z e z - x y

Passo 2

Agora, usando a derivação implícita em relação a y , temos:

∂ ( e z ) ∂ y = ∂ ( x y z ) ∂ y

Aplicando a regra do produto do lado direito:

e z ∂ z ∂ y = ∂ ( x y ) ∂ y z + ∂ z ∂ y x y

Usando novamente a regra do produto:

e z ∂ z ∂ y = 0 + x z + ∂ z ∂ y x y

Isolando a derivada parcial:

∂ z ∂ y = x z e z - x y

Passo 3

Letra b)

Para calcularmos as derivadas parciais em relação às variáveis u , v , vamos relembrar a regra da cadeia para 2 parâmetros:

Em relação a u :

∂ z ∂ u = ∂ z ∂ x ∙ ∂ x ∂ u + ∂ z ∂ y ∙ ∂ y ∂ u

Em relação a v :

∂ z ∂ v = ∂ z ∂ x ∙ ∂ x ∂ v + ∂ z ∂ y ∙ ∂ y ∂ v

Assim, metade do nosso caminho já foi percorrido! Falta calcular as derivadas parciais de x e y em relação a u e v e substituir.

Derivada de x em relação a u :

∂ x ∂ u = ∂ ( 1 + 3 v ) ∂ u = 0

Derivada de x em relação a v :

∂ x ∂ v = ∂ ( 1 + 3 v ) ∂ v = 3

Derivada de y em relação a u :

∂ y ∂ u = ∂ ( 2 u + v ) ∂ u = 2

Derivada parcial de y em relação a v :

∂ y ∂ v = ∂ ( 2 u + v ) ∂ v = 1

Ufa, quanta derivada parcial.

Passo 4

Substituindo na fórmula mencionada no passo anterior, temos então

Em relação a u :

∂ z ∂ u = ∂ z ∂ x ∙ ∂ x ∂ u + ∂ z ∂ y ∙ ∂ y ∂ u = y z e z - x y 0 + x z e z - x y 2

Substituindo de acordo com as equações:

∂ z ∂ u = 2 x z e z - x y = 2 1 + 3 v z e z - 1 + 3 v 2 u + v

Em relação a v :

∂ z ∂ v = ∂ z ∂ x ∙ ∂ x ∂ v + ∂ z ∂ y ∙ ∂ y ∂ v = y z e z - x y 3 + x z e z - x y 1

Substituindo de acordo com as equações:

∂ z ∂ v = 3 2 u + v z e z - 1 + 3 v 2 u + v + 1 + 3 v z e z - 1 + 3 v 2 u + v

Pra ficar mais “bonitinho” esse treco feio, podemos colocar em evidência:

∂ z ∂ v = z ( 6 u + 6 v + 1 ) e z - 1 + 3 v 2 u + v

Resposta

∂ z ∂ x = y z e z - x y

∂ z ∂ y = x z e z - x y

∂ z ∂ u = 2 1 + 3 v z e z - 1 + 3 v 2 u + v

∂ z ∂ v = z ( 6 u + 6 v + 1 ) e z - 1 + 3 v 2 u + v

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Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = r cos ⁡ θ e y = r sen ⁡ θ , (a) determine ∂ z / ∂ r e ∂ z / ∂ θ e (b) mostre que ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ r 2 +
Se z = f ( x , y ) , onde x = s + t e y = s - t , mostre que ∂ z ∂ x 2 - ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ s ∂ z ∂ t
Use a regra da cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t z = arcsin ⁡ x - y x = s 2 + t 2 y = 1 - 2 s t
Use a regra da cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t z = sin ⁡ θ ⋅ cos ⁡ ϕ θ = s t 2 ϕ = s 2 t
Se z = f x , y , onde f é diferenciável, e x = g t; y = h t g 3 = 2 ; h 3 = 7 g ' 3 = 5; h ' 3 = - 4 f x 2,7 = 6; f y 2,7 = - 8 Determine d z d t quando t = 3 .