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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

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Enunciado

USP, São Carlos, Calculo 2, Listas de C2 - Grupo Coordenado 2022 - Lista 3 - Módulo 3, Questão 29c

Se h u ,   v = f x u ,   v ,   y ( u ,   v ) , onde f ( x ,   y ) , x ( u ,   v ) e y ( u ,   v ) são diferenciáveis em todo plano, obtenha as expressões para ∂ h ∂ u e ∂ h ∂ v . Aplique para cada caso abaixo:

c) f x ,   y = 1 - 4 x 2 + 9 y 2 onde x u ,   v = 2 u cos ⁡ v e y u ,   v = 3 u sin ⁡ v .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular as derivadas parciais da função h em relação a u e v , ou seja, vamos calcular ∂ h ∂ u e ∂ h ∂ v , respectivamente.

Pra isso, nós temos f ( x ,   y ) , que é igual a h , só que x e y são funções de duas outras variáveis u e v : x ( u ,   v ) e y ( u ,   v ) . Então, h é indiretamente uma função de u e v .

Sendo assim, para calcular ∂ h ∂ u mantemos v fixo e calculamos a derivada ordinária de h em relação a u . E da mesma forma, mantendo u fixo, calculamos a derivada ordinária de h em relação a v para obter ∂ h ∂ v . Então, vamos usar a regra da cadeia na forma:

∂ h ∂ u = ∂ h ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ h ∂ y ∂ y ∂ u  

∂ h ∂ v = ∂ h ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ h ∂ y ∂ y ∂ v  

Vamos lá!

Passo 2

Galera, nós temos h u ,   v = f x u ,   v ,   y ( u ,   v ) , então consideramos h igual a f ( x ,   y ) , que é dada por:

h = f x ,   y = 1 - 4 x 2 + 9 y 2

Então, derivando f parcialmente em relação a x , temos:

∂ h ∂ x = - 8 x

E derivando em relação a y :

∂ h ∂ y = 18 y

Passo 3

Agora nós temos x u ,   v = 2 u cos ⁡ v e y u ,   v = 3 u sin ⁡ v . Assim, derivando x em relação a u (usando a regra do produto), vamos ter:

∂ x ∂ u = 2 cos ⁡ v

E em relação a v , também usando a regra do produto, temos:

∂ x ∂ v = - 2 u sin ⁡ v

Agora derivando y em relação a u , vamos ter:

∂ y ∂ u = 3 sin ⁡ v

E em relação a v :

∂ y ∂ v = 3 u cos ⁡ v

Passo 4

Agora vamos juntar esses resultado, de acordo com a fórmula da regra da cadeia que vimos no passo 1 , para obter:

∂ h ∂ u = ∂ h ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ h ∂ y ∂ y ∂ u  

∂ h ∂ u = - 8 x 2 cos ⁡ v + ( 18 y ) ( 3 sin ⁡ v )

∂ h ∂ u = - 16 x cos ⁡ v + 54 y sin ⁡ v

E por fim, temos a derivada de h em relação a v na forma:

∂ h ∂ v = ∂ h ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ h ∂ y ∂ y ∂ v  

∂ h ∂ v = - 8 x - 2 u sin ⁡ v + ( 18 y ) ( 3 u cos ⁡ v )

∂ h ∂ v = 16 x u sin ⁡ v + 54 y u cos ⁡ v

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

∂ h ∂ u = - 16 x cos ⁡ v + 54 y sin ⁡ v

∂ h ∂ v = 16 x u sin ⁡ v + 54 y u cos ⁡ v

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Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = r cos ⁡ θ e y = r sen ⁡ θ , (a) determine ∂ z / ∂ r e ∂ z / ∂ θ e (b) mostre que ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ r 2 +
Se z = f ( x , y ) , onde x = s + t e y = s - t , mostre que ∂ z ∂ x 2 - ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ s ∂ z ∂ t
Use a regra da cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t z = arcsin ⁡ x - y x = s 2 + t 2 y = 1 - 2 s t
Use a regra da cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t z = sin ⁡ θ ⋅ cos ⁡ ϕ θ = s t 2 ϕ = s 2 t
Se z = f x , y , onde f é diferenciável, e x = g t; y = h t g 3 = 2 ; h 3 = 7 g ' 3 = 5; h ' 3 = - 4 f x 2,7 = 6; f y 2,7 = - 8 Determine d z d t quando t = 3 .