Sejam u(x, y, z) = (x + y) / (y + z), x(p, r, t) = p + 3r + 4t, y(p, r, t) = p - 3r + 4t e z(p, r, t) = p + 3r - 4t . Utilizando a regra da cadeia, ∂u / ∂p vale:

  1. - (3t) / (p^3)
  2. - 12t / p^2
  3. 12t / p^2 + t
  4. - 4t / p^2
  5. 4t / p

Passo 1

Precisamos usar a regra da cadeia para funções de várias varáveis para calcular ∂ u ∂ p . Vou te ajudar a lembrar.

Para o nosso caso, ela fica com essa cara:

∂ u ∂ p = ∂ u ∂ x   ∂ x ∂ p + ∂ u ∂ y   ∂ y ∂ p + ∂ u ∂ z   ∂ z ∂ p

Então o que vamos fazer é calcular todas essas derivadas parciais e substituir.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de u ( x , y , z ) .

Fazendo primeiro em relação a x , a gente pode reescrever:

u x , y , z = x + y y + z = x y + z + y y + z

∂ u ∂ x = 1 y + z

(Já que o outro termo da soma é constante em relação a x . )

Agora em relação a y , a gente percebe que tem um quociente de duas funções de y , então precisamos usar a regra do quociente:

∂ u ∂ y = 1 y + z - x + y 1 y + z 2 = z - x y + z 2

Para calcular em relação a z , podemos usar a regra do quociente de novo, mas sabendo que ( x + y ) é constante para esse caso:

∂ u ∂ y = 0 y + z - x + y 1 y + z 2 = - x - y y + z 2

Passo 3

Vamos achar as derivadas parciais das nossas variáveis x , y ,   z em relação a p :

x p , r , t = p + 3 r + 4 t

∂ x ∂ p = 1

y p , r , t = p - 3 r + 4 t

∂ y ∂ p = 1

z p , r , t = p + 3 r - 4 t

∂ z ∂ p = 1

Passo 4

Temos todas as peças. Vamos montar a regra da cadeia:

∂ u ∂ p = ∂ u ∂ x   ∂ x ∂ p + ∂ u ∂ y   ∂ y ∂ p + ∂ u ∂ z   ∂ z ∂ p

Como:

  ∂ x ∂ p =   ∂ y ∂ p = ∂ z ∂ p = 1

∂ u ∂ p = ∂ u ∂ x + ∂ u ∂ y + ∂ u ∂ z  

∂ u ∂ p = 1 y + z + z - x y + z 2 + - x - y y + z 2

Fazendo o MMC e rearrumando:

∂ u ∂ p = y + z y + z 2 + z - x y + z 2 + - x - y y + z 2 = 2 z - 2 x y + z 2

Ih mas a respota está em função de p , r , t . O que faço? Calma. A gente sabe que:

x = p + 3 r + 4 t ,     y = p - 3 r + 4 t ,     z = p + 3 r - 4 t

Substituindo:

∂ u ∂ p = 2 p + 3 r - 4 t - 2 p + 3 r + 4 t   p - 3 r + 4 t + p + 3 r - 4 t 2 = - 16 t 4 p 2 = - 4 t p 2

O que está na letra d.

Resposta

Letra d

Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

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Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f(x, y) , onde x = r * cos(θ) e y = r * sen(θ) , (a) determine ∂z/∂r e ∂z/∂θ e (b) mostre que ( ∂z/∂x )^2 + ( ∂z/∂y )^2 = ( ∂z/∂r )^2 + 1/r
Se z = f ( x , y ) , onde x = s + t e y = s - t , mostre que ∂ z ∂ x 2 - ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ s ∂ z ∂ t
Use a regra da cadeia para achar ∂z / ∂s e ∂z / ∂t z = sen(θ) ⋅ cos(ϕ) θ = s * t^2 ϕ = s^2 t
Use o diagrama em arvore para escrever a regra da cadeia para o caso dado. Assuma que todas as funções são diferenciáveis.w = f(x, y, z) Ondex = x(u, v) y = y(u, v) z = z(u, v)
O comprimento l , a largura w e a altura h de uma caixa variam com o tempo. Em um determinado momento, as dimensões são l = 1 m e w = h = 2 m , l e w estão aumentando em uma taxa de 2 * m / s enquanto