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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

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Enunciado

Sejam u x , y , z = x + y y + z ,   x p , r , t = p + 3 r + 4 t ,     y p , r , t = p - 3 r + 4 t   e z p , r , t = p + 3 r - 4 t . Utilizando a regra da cadeia, ∂ u ∂ p   vale:

  1. - 3 t p 3
  2. - 12 t p 2
  3. 12 t p 2 + t  
  4. - 4 t p 2
  5. 4 t p

Passo 1

Precisamos usar a regra da cadeia para funções de várias varáveis para calcular ∂ u ∂ p . Vou te ajudar a lembrar.

Para o nosso caso, ela fica com essa cara:

∂ u ∂ p = ∂ u ∂ x   ∂ x ∂ p + ∂ u ∂ y   ∂ y ∂ p + ∂ u ∂ z   ∂ z ∂ p

Então o que vamos fazer é calcular todas essas derivadas parciais e substituir.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de u ( x , y , z ) .

Fazendo primeiro em relação a x , a gente pode reescrever:

u x , y , z = x + y y + z = x y + z + y y + z

∂ u ∂ x = 1 y + z

(Já que o outro termo da soma é constante em relação a x . )

Agora em relação a y , a gente percebe que tem um quociente de duas funções de y , então precisamos usar a regra do quociente:

∂ u ∂ y = 1 y + z - x + y 1 y + z 2 = z - x y + z 2

Para calcular em relação a z , podemos usar a regra do quociente de novo, mas sabendo que ( x + y ) é constante para esse caso:

∂ u ∂ y = 0 y + z - x + y 1 y + z 2 = - x - y y + z 2

Passo 3

Vamos achar as derivadas parciais das nossas variáveis x , y ,   z em relação a p :

x p , r , t = p + 3 r + 4 t

∂ x ∂ p = 1

y p , r , t = p - 3 r + 4 t

∂ y ∂ p = 1

z p , r , t = p + 3 r - 4 t

∂ z ∂ p = 1

Passo 4

Temos todas as peças. Vamos montar a regra da cadeia:

∂ u ∂ p = ∂ u ∂ x   ∂ x ∂ p + ∂ u ∂ y   ∂ y ∂ p + ∂ u ∂ z   ∂ z ∂ p

Como:

  ∂ x ∂ p =   ∂ y ∂ p = ∂ z ∂ p = 1

∂ u ∂ p = ∂ u ∂ x + ∂ u ∂ y + ∂ u ∂ z  

∂ u ∂ p = 1 y + z + z - x y + z 2 + - x - y y + z 2

Fazendo o MMC e rearrumando:

∂ u ∂ p = y + z y + z 2 + z - x y + z 2 + - x - y y + z 2 = 2 z - 2 x y + z 2

Ih mas a respota está em função de p , r , t . O que faço? Calma. A gente sabe que:

x = p + 3 r + 4 t ,     y = p - 3 r + 4 t ,     z = p + 3 r - 4 t

Substituindo:

∂ u ∂ p = 2 p + 3 r - 4 t - 2 p + 3 r + 4 t   p - 3 r + 4 t + p + 3 r - 4 t 2 = - 16 t 4 p 2 = - 4 t p 2

O que está na letra d.

Resposta

Letra d

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Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = r cos ⁡ θ e y = r sen ⁡ θ , (a) determine ∂ z / ∂ r e ∂ z / ∂ θ e (b) mostre que ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ r 2 +
Se z = f ( x , y ) , onde x = s + t e y = s - t , mostre que ∂ z ∂ x 2 - ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ s ∂ z ∂ t
Use a regra da cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t z = arcsin ⁡ x - y x = s 2 + t 2 y = 1 - 2 s t
Use a regra da cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t z = sin ⁡ θ ⋅ cos ⁡ ϕ θ = s t 2 ϕ = s 2 t
Se z = f x , y , onde f é diferenciável, e x = g t; y = h t g 3 = 2 ; h 3 = 7 g ' 3 = 5; h ' 3 = - 4 f x 2,7 = 6; f y 2,7 = - 8 Determine d z d t quando t = 3 .