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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

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Enunciado

A variável z é uma função das variáveis x e y implicitamente definida pela equação

cos ⁡ x y z = x + y + z

  1. Calcule ∂ z ∂ x e ∂ z ∂ y .
  2. Sabendo que x = u + v e y = e u v , use a regra da cadeia para calcular ∂ z ∂ u e ∂ z ∂ v . Sua resposta deve ser dada em termos de u ,   v   e z apenas.

Passo 1

a )

Para calcular as derivadas parciais de uma função definida implicitamente, a primeira coisa a se fazer é jogar tudo pra esquerda e chamar de F ( x , y , z ) :

F x , y , z = x + y + z - cos ⁡ x y z

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de F :

F x = 1 + y z sen ⁡ x y z

F y = 1 + x z sen ⁡ x y z

F z = 1 + x y sen ⁡ x y z

Passo 3

Aplicando o teorema da função implícita:

∂ z ∂ x = - F x F z ∂ z ∂ y = - F y F z

Logo,

∂ z ∂ x x , y = - 1 + y z sen ⁡ x y z   1 + x y sen ⁡ x y z

∂ z ∂ y x , y = - 1 + x z sen ⁡ x y z   1 + x y sen ⁡ x y z

Pronto, achamos, é esse negócio esquisito mesmo!

Passo 4

b )

Agora, nossa função implícita z passa a ser uma função composta. Portanto, para derivar, vamos precisar da regra da cadeia:

∂ z ∂ u = ∂ z ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ u

E

∂ z ∂ v = ∂ z ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ v

A boa notícia é que as derivadas parciais de z em relação a x e a y nós já achamos na letra a . Fica faltando só as derivadas parciais de x e y .

Passo 5

Mãos à obra então.

Começando pelas derivadas parciais de x :

x = u + v

∂ x ∂ u = 1

∂ x ∂ v = 1

Agora as derivadas parciais de y :

y = e u v

∂ y ∂ u = v   e u v

∂ y ∂ v = u e u v

Passo 6

Substituindo tudo na fórmula da regra da cadeia:

∂ z ∂ u = - 1 + y z sen ⁡ x y z   1 + x y sen ⁡ x y z 1 + - 1 + x z sen ⁡ x y z   1 + x y sen ⁡ x y z v e u v

E

∂ z ∂ v = - 1 + y z sen ⁡ x y z   1 + x y sen ⁡ x y z 1 + - 1 + x z sen ⁡ x y z   1 + x y sen ⁡ x y z u e u v

Passo 7

Pensou que tinha acabado, né?

Mas, infelizmente ainda não, pois a questão pediu essas derivadas apenas em função de u ,   v e z .

Sorte que sabemos que

x = u + v

y = e u v

Então, substituindo isso nas derivadas que achamos no passo anterior:

∂ z ∂ u = - 1 + e u v z sen ⁡ u + v e u v z   1 + ( u + v ) y sen ⁡ u + v e u v z + - 1 + ( u + v ) z sen ⁡ u + v e u v z   1 + ( u + v ) e u v sen ⁡ u + v e u v z v e u v

E

∂ z ∂ v = - 1 + e u v z sen ⁡ u + v e u v z   1 + ( u + v ) e u v sen ⁡ x y z + - 1 + ( u + v ) z sen ⁡ u + v e u v z   1 + ( u + v ) e u v sen ⁡ u + v e u v z u e u v

Agora sim!

Resposta

a )

∂ z ∂ x x , y = - 1 + y z sen ⁡ x y z   1 + x y sen ⁡ x y z

∂ z ∂ y x , y = - 1 + x z sen ⁡ x y z   1 + x y sen ⁡ x y z

b )

∂ z ∂ u = - 1 + e u v z sen ⁡ u + v e u v z   1 + ( u + v ) y sen ⁡ u + v e u v z + - 1 + ( u + v ) z sen ⁡ u + v e u v z   1 + ( u + v ) e u v sen ⁡ u + v e u v z v e u v

E

∂ z ∂ v = - 1 + e u v z sen ⁡ u + v e u v z   1 + ( u + v ) e u v sen ⁡ x y z + - 1 + ( u + v ) z sen ⁡ u + v e u v z   1 + ( u + v ) e u v sen ⁡ u + v e u v z u e u v

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Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = r cos ⁡ θ e y = r sen ⁡ θ , (a) determine ∂ z / ∂ r e ∂ z / ∂ θ e (b) mostre que ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ r 2 +
Se z = f ( x , y ) , onde x = s + t e y = s - t , mostre que ∂ z ∂ x 2 - ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ s ∂ z ∂ t
Use a regra da cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t z = arcsin ⁡ x - y x = s 2 + t 2 y = 1 - 2 s t
Use a regra da cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t z = sin ⁡ θ ⋅ cos ⁡ ϕ θ = s t 2 ϕ = s 2 t
Se z = f x , y , onde f é diferenciável, e x = g t; y = h t g 3 = 2 ; h 3 = 7 g ' 3 = 5; h ' 3 = - 4 f x 2,7 = 6; f y 2,7 = - 8 Determine d z d t quando t = 3 .