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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

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Enunciado

UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral III, 1° Estágio - 2018.1, Questão 2

Sendo f ( u ,   v ,   w ) diferenciável e u = x - y , v = y - z e w = z - x , use a regra da Cadeia para concluir que ∂ f ∂ x + ∂ f ∂ y + ∂ f ∂ z = 0 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado pediu pra gente mostrar que ∂ f ∂ x + ∂ f ∂ y + ∂ f ∂ z = 0 , sabendo que u = x - y , v = y - z e w = z - x . Para isso vamos precisar calcular as derivadas parciais da função.

Pela regra da cadeia, temos as equações:

∂ f ∂ x = ∂ f ∂ u ∂ u ∂ x + ∂ f ∂ v ∂ v ∂ x + ∂ f ∂ w ∂ w ∂ x  

∂ f ∂ y = ∂ f ∂ u ∂ u ∂ y + ∂ f ∂ v ∂ v ∂ y + ∂ f ∂ w ∂ w ∂ y

∂ f ∂ z = ∂ f ∂ u ∂ u ∂ z + ∂ f ∂ v ∂ v ∂ z + ∂ f ∂ w ∂ w ∂ z

Então, nós vamos calcular os gradientes de f , u , v e w para encontrar o valor dessas derivadas e substituir na equação para ver se é igual a zero.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando o gradiente de f :

∇ f u ,   v ,   w = ∂ f ∂ u , ∂ f ∂ v ,   ∂ f ∂ w  

Para u = x - y , temos o gradiente:

∇ u x ,   y ,   z = ∂ u ∂ x , ∂ u ∂ y ,   ∂ u ∂ z = 1 ,   - 1 ,   0  

Para v = y - z , temos:

∇ v x ,   y ,   z = ∂ v ∂ x , ∂ v ∂ y ,   ∂ v ∂ z = 0 ,   1 ,   - 1  

E para w = z - x :

∇ w x ,   y ,   z = ∂ w ∂ x , ∂ w ∂ y ,   ∂ w ∂ z = - 1 ,   0 ,   1  

Passo 3

Beleza, agora vamos substituir todo mundo nas fórmulas do passo 1 :

Para a derivada em relação a x :

∂ f ∂ x = ∂ f ∂ u ∂ u ∂ x + ∂ f ∂ v ∂ v ∂ x + ∂ f ∂ w ∂ w ∂ x  

∂ f ∂ x = ∂ f ∂ u 1 + ∂ f ∂ v 0 + ∂ f ∂ w - 1 = ∂ f ∂ u - ∂ f ∂ w  

Para a derivada em relação a y :

∂ f ∂ y = ∂ f ∂ u ∂ u ∂ y + ∂ f ∂ v ∂ v ∂ y + ∂ f ∂ w ∂ w ∂ y

∂ f ∂ y = ∂ f ∂ u - 1 + ∂ f ∂ v 1 + ∂ f ∂ w 0 = - ∂ f ∂ u + ∂ f ∂ v

Para a derivada em relação a z :

∂ f ∂ z = ∂ f ∂ u ∂ u ∂ z + ∂ f ∂ v ∂ v ∂ z + ∂ f ∂ w ∂ w ∂ z

∂ f ∂ z = ∂ f ∂ u 0 + ∂ f ∂ v - 1 + ∂ f ∂ w 1 = - ∂ f ∂ v + ∂ f ∂ w

Agora vamos somar ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y e ∂ f ∂ z pra ver se dar zero:

∂ f ∂ x + ∂ f ∂ y + ∂ f ∂ z = ∂ f ∂ u - ∂ f ∂ w - ∂ f ∂ u + ∂ f ∂ v - ∂ f ∂ v + ∂ f ∂ w

∂ f ∂ x + ∂ f ∂ y + ∂ f ∂ z = 0

Como queríamos demonstrar, uhuuul!!!

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

∂ f ∂ x + ∂ f ∂ y + ∂ f ∂ z = 0

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Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = r cos ⁡ θ e y = r sen ⁡ θ , (a) determine ∂ z / ∂ r e ∂ z / ∂ θ e (b) mostre que ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ r 2 +
Se z = f ( x , y ) , onde x = s + t e y = s - t , mostre que ∂ z ∂ x 2 - ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ s ∂ z ∂ t
Use a regra da cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t z = arcsin ⁡ x - y x = s 2 + t 2 y = 1 - 2 s t
Use a regra da cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t z = sin ⁡ θ ⋅ cos ⁡ ϕ θ = s t 2 ϕ = s 2 t
Se z = f x , y , onde f é diferenciável, e x = g t; y = h t g 3 = 2 ; h 3 = 7 g ' 3 = 5; h ' 3 = - 4 f x 2,7 = 6; f y 2,7 = - 8 Determine d z d t quando t = 3 .