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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

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Enunciado

Se f ( u , v , w ) é diferenciável e

u = x - y

v = y - z

w = z - x

Mostre que

∂ f ∂ x + ∂ f ∂ y + ∂ f ∂ z = 0

Passo 1

Pra mostrar isso ai a gente quem que calcular as derivadas parciais né?

Pelas fórmulas da regra da cadeia, temos que:

∂ f ∂ x = ∂ f ∂ u ∂ u ∂ x + ∂ f ∂ v ∂ v ∂ x + ∂ f ∂ w ∂ w ∂ x

∂ f ∂ y = ∂ f ∂ u ∂ u ∂ y + ∂ f ∂ v ∂ v ∂ y + ∂ f ∂ w ∂ w ∂ y

E

∂ f ∂ z = ∂ f ∂ u ∂ u ∂ z + ∂ f ∂ v ∂ v ∂ z + ∂ f ∂ w ∂ w ∂ z

Passo 2

Vamos calcular o gradiente de f :

∇ f u , v , w = ∂ f ∂ u , ∂ f ∂ v , ∂ f ∂ w

Passo 3

Gradiente de u :

u = x - y

∇ u x , y , z = ∂ u ∂ x , ∂ u ∂ y , ∂ u ∂ z = ( 1 , - 1,0 )

Passo 4

Gradiente de v :

v = y - z

∇ v x , y , z = ∂ v ∂ x , ∂ v ∂ y , ∂ v ∂ z = ( 0,1 , - 1 )

Passo 5

Gradiente de w :

w = z - x

∇ w x , y , z = ∂ w ∂ x , ∂ w ∂ y , ∂ w ∂ z = ( - 1,0 , 1 )

Passo 6

Ok, agora vamos substituir nas fórmulas do passo 1.

Para a derivada em relação a x :

∂ f ∂ x = ∂ f ∂ u ∂ u ∂ x + ∂ f ∂ v ∂ v ∂ x + ∂ f ∂ w ∂ w ∂ x

∂ f ∂ x = ∂ f ∂ u 1 + ∂ f ∂ v 0 + ∂ f ∂ w - 1 = ∂ f ∂ u - ∂ f ∂ w

Para a derivada em relação a y :

∂ f ∂ y = ∂ f ∂ u ∂ u ∂ y + ∂ f ∂ v ∂ v ∂ y + ∂ f ∂ w ∂ w ∂ y

∂ f ∂ y = ∂ f ∂ u - 1 + ∂ f ∂ v 1 + ∂ f ∂ w 0 = - ∂ f ∂ u + ∂ f ∂ v

E para a derivada em relação a z :

∂ f ∂ z = ∂ f ∂ u ∂ u ∂ z + ∂ f ∂ v ∂ v ∂ z + ∂ f ∂ w ∂ w ∂ z

∂ f ∂ z = ∂ f ∂ u 0 + ∂ f ∂ v - 1 + ∂ f ∂ w 1 = - ∂ f ∂ v + ∂ f ∂ w

Passo 7

-

Por fim, vamos verificar se conseguimos mostrar o que o problema pediu:

∂ f ∂ x + ∂ f ∂ y + ∂ f ∂ z = ∂ f ∂ u - ∂ f ∂ w - ∂ f ∂ u + ∂ f ∂ v - ∂ f ∂ v + ∂ f ∂ w = 0

Uhul, deu certo!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = r cos ⁡ θ e y = r sen ⁡ θ , (a) determine ∂ z / ∂ r e ∂ z / ∂ θ e (b) mostre que ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ r 2 +
Se z = f ( x , y ) , onde x = s + t e y = s - t , mostre que ∂ z ∂ x 2 - ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ s ∂ z ∂ t
Use a regra da cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t z = arcsin ⁡ x - y x = s 2 + t 2 y = 1 - 2 s t
Use a regra da cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t z = sin ⁡ θ ⋅ cos ⁡ ϕ θ = s t 2 ϕ = s 2 t
Se z = f x , y , onde f é diferenciável, e x = g t; y = h t g 3 = 2 ; h 3 = 7 g ' 3 = 5; h ' 3 = - 4 f x 2,7 = 6; f y 2,7 = - 8 Determine d z d t quando t = 3 .