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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

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Enunciado

Considere a função

u = u x , y , z = x 2 - y z

Em que

x = x p , r , θ = p r sen ⁡ θ

y = y p , r , θ = p r cos ⁡ θ

z = z p , r , θ = p - 2 r

Utilizando a regra da cadeia, calcule as derivadas parciais ∂ u ∂ p ,   ∂ u ∂ r e ∂ u ∂ θ , para p = 3 , r = 2 e θ = 0 .

Passo 1

Vamos primeiro descobrir qual o x ,   y   e z correspondentes a p , r , θ = 3,2 , 0 :

x = x p , r , θ = p r sen ⁡ θ   ⇒   x 3,2 , 0 = 0

y = y p , r , θ = p r cos ⁡ θ   ⇒   y 3,2 , 0 = 6

z = z p , r , θ = p - 2 r ⇒ z 3,2 , 0 = - 1

Então, temos que x , y , z = ( 0,6 , - 1 ) quando p , r , θ = 3,2 , 0 .

Passo 2

Beleza, agora vamos calcular o gradiente de u , x , y e z e no final a gente substitui os pontos.

Começando pelo gradiente de u :

u x , y , z = x 2 - y z

∇ u x , y , z = ∂ u ∂ x , ∂ u ∂ y , ∂ u ∂ z = ( 2 x , - z , - y )

Passo 3

Agora o gradiente de x :

x p , r , θ = p r sen ⁡ θ

∇ x p , r , θ = ∂ x ∂ p , ∂ x ∂ r , ∂ x ∂ θ = r sen ⁡ θ , p sen ⁡ θ , p r cos ⁡ θ

Passo 4

Agora o gradiente de y :

y p , r , θ = p r cos ⁡ θ

∇ y p , r , θ = ∂ y ∂ p , ∂ y ∂ r , ∂ y ∂ θ = r cos ⁡ θ , p cos ⁡ θ , - p r sen ⁡ θ

Passo 5

E, o gradiente de z :

z p , r , θ = p - 2 r

∇ z p , r , θ = ∂ z ∂ p , ∂ z ∂ r , ∂ z ∂ θ = ( 1 , - 2 , 0 )

Passo 6

Agora vamos substituir na fórmula e, depois, nos pontos correspondentes:

Para a derivada em relação a p :

∂ u ∂ p = ∂ u ∂ x ∂ x ∂ p + ∂ u ∂ y ∂ y ∂ p + ∂ u ∂ z ∂ z ∂ p

∂ u ∂ p = 2 x r sen ⁡ θ - z r cos ⁡ θ - y ( 1 )

∂ u ∂ p ( 0,6 , - 1 ) = ∂ u ∂ x ( 0,6 , - 1 ) ∂ x ∂ p ( 3,2 , 0 ) + ∂ u ∂ y ( 0,6 , - 1 ) ∂ y ∂ p ( 3,2 , 0 ) + ∂ u ∂ z ( 0,6 , - 1 ) ∂ z ∂ p ( 3,2 , 0 )

∂ u ∂ p 0,6 , - 1 = 2.0 2 sen ⁡ 0 + 1 2 cos ⁡ 0 - 6 1 = - 4

Passo 7

Para a derivada em relação a r :

∂ u ∂ r = ∂ u ∂ x ∂ x ∂ r + ∂ u ∂ y ∂ y ∂ r + ∂ u ∂ z ∂ z ∂ r

∂ u ∂ r = 2 x p sen ⁡ θ - z p cos ⁡ θ - y - 2

∂ u ∂ r ( 0,6 , - 1 ) = ∂ u ∂ x ( 0,6 , - 1 ) ∂ x ∂ r ( 3,2 , 0 ) + ∂ u ∂ y ( 0,6 , - 1 ) ∂ y ∂ r ( 3,2 , 0 ) + ∂ u ∂ z ( 0,6 , - 1 ) ∂ z ∂ r ( 3,2 , 0 )

∂ u ∂ r = 2.0 3 sen ⁡ 0 + 1 3 cos ⁡ 0 - 6 - 2 = 15

Passo 8

E, finalmente (!!!), para a derivada em relação a θ :

∂ u ∂ θ = ∂ u ∂ x ∂ x ∂ θ + ∂ u ∂ y ∂ y ∂ θ + ∂ u ∂ z ∂ z ∂ θ

∂ u ∂ θ = 2 x p r cos ⁡ θ - z - p r sen ⁡ θ - y 0

∂ u ∂ θ ( 0,6 , - 1 ) = ∂ u ∂ x ( 0,6 , - 1 ) ∂ x ∂ θ ( 3,2 , 0 ) + ∂ u ∂ y ( 0,6 , - 1 ) ∂ y ∂ θ ( 3,2 , 0 ) + ∂ u ∂ z ( 0,6 , - 1 ) ∂ z ∂ θ ( 3,2 , 0 )

∂ u ∂ θ = 2.0 3.2 cos ⁡ 0 + 1 - 3.2 sen ⁡ 0 - 6 0 = 0

Resposta

∂ u ∂ p = - 4

∂ u ∂ r = 15

∂ u ∂ θ = 0

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Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = r cos ⁡ θ e y = r sen ⁡ θ , (a) determine ∂ z / ∂ r e ∂ z / ∂ θ e (b) mostre que ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ r 2 +
Se z = f ( x , y ) , onde x = s + t e y = s - t , mostre que ∂ z ∂ x 2 - ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ s ∂ z ∂ t
Use a regra da cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t z = arcsin ⁡ x - y x = s 2 + t 2 y = 1 - 2 s t
Use a regra da cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t z = sin ⁡ θ ⋅ cos ⁡ ϕ θ = s t 2 ϕ = s 2 t
Se z = f x , y , onde f é diferenciável, e x = g t; y = h t g 3 = 2 ; h 3 = 7 g ' 3 = 5; h ' 3 = - 4 f x 2,7 = 6; f y 2,7 = - 8 Determine d z d t quando t = 3 .