Considere a função
Em que
Utilizando a regra da cadeia, calcule as derivadas parciais , e , para , e .
Passo 1
Vamos primeiro descobrir qual o e correspondentes a :
Então, temos que quando .
Passo 2
Beleza, agora vamos calcular o gradiente de , , e e no final a gente substitui os pontos.
Começando pelo gradiente de :
Passo 3
Agora o gradiente de :
Passo 4
Agora o gradiente de :
Passo 5
E, o gradiente de :
Passo 6
Agora vamos substituir na fórmula e, depois, nos pontos correspondentes:
Para a derivada em relação a :
Passo 7
Para a derivada em relação a :
Passo 8
E, finalmente (!!!), para a derivada em relação a :
Resposta
Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro
Ver TeoriaExercícios de Livros Relacionados
Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f(x, y) , onde x = r * cos(θ) e y = r * sen(θ) , (a) determine ∂z/∂r e ∂z/∂θ e (b) mostre que ( ∂z/∂x )^2 + ( ∂z/∂y )^2 = ( ∂z/∂r )^2 + 1/r
Se z = f ( x , y ) , onde x = s + t e y = s - t , mostre que ∂ z ∂ x 2 - ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ s ∂ z ∂ t
Use a regra da cadeia para achar ∂z / ∂s e ∂z / ∂t z = sen(θ) ⋅ cos(ϕ) θ = s * t^2 ϕ = s^2 t
Use o diagrama em arvore para escrever a regra da cadeia para o caso dado. Assuma que todas as funções são diferenciáveis.w = f(x, y, z) Ondex = x(u, v) y = y(u, v) z = z(u, v)
O comprimento l , a largura w e a altura h de uma caixa variam com o tempo. Em um determinado momento, as dimensões são l = 1 m e w = h = 2 m , l e w estão aumentando em uma taxa de 2 * m / s enquanto