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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

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Enunciado

Regra da cadeia

Suponha que w x , y , z = x 3 f z x , y x onde x ≠ 0 e f : R 2 → R é uma função diferenciável. Mostre que

x ∂ w ∂ x x , y , z + y ∂ w ∂ y x , y , z + z ∂ w ∂ z x , y , z = 3 w x , y , z

Para todo x , y , z ∈ R 3 , com x ≠ 0

Passo 1

Vamos fazer cada derivada de w em partes. Começando com ∂ w ∂ x

Usando propriedades de derivadas vamos ter

∂ w ∂ x = 3 x 2 f z x , y x + x 3 ∂ ∂ x f z x , y x

Agora temos que achar aquela derivada usando a regra da cadeia. Temos uma parametrização na função, f u , v que seria

u x , y , z = z x

v x , y , z = y x

Passo 2

Para achar a derivada temos primeiro que achar as derivadas da parametrização

∂ u ∂ x = - z x 2

∂ v ∂ x = - y x 2

Agora temos que achar o gradiente de f , ou seja,

∇ f = f u , f v = ∂ f ∂ u , ∂ f ∂ v

E depois disso fazemos a derivada no ponto, ou seja,

∇ f z x , y x = ∂ f ∂ u z x , y x , ∂ f ∂ v z x , y x

Passo 3

Vamos fazer a derivada agora,

∂ ∂ x f z x , y x = ∂ f ∂ u z x , y x , ∂ f ∂ v z x , y x ∙ ∂ u ∂ x , ∂ v ∂ x

∂ ∂ x f z x , y x = ∂ f ∂ u z x , y x , ∂ f ∂ v z x , y x ∙ - z x 2 , - y x 2

∂ ∂ x f z x , y x = - z x 2 ∂ f ∂ u z x , y x - y x 2 ∂ f ∂ v z x , y x

Passo 4

Voltando lá para cima vamos ter

∂ w ∂ x = 3 x 2 f z x , y x + ∂ ∂ x f z x , y x = 3 x 2 f z x , y x + x 3 - z x 2 ∂ f ∂ u z x , y x - y x 2 ∂ f ∂ v z x , y x

∂ w ∂ x = 3 x 2 f z x , y x - z x ∂ f ∂ u z x , y x - y x ∂ f ∂ v z x , y x

Passo 5

Vamos agora para a derivada de y

∂ w ∂ y = x 3 ∂ ∂ y f z x , y x

Para achar a derivada temos primeiro que achar as derivadas da parametrização

∂ u ∂ y = 0

∂ v ∂ y = 1 x

Agora temos que achar o gradiente de f , ou seja,

∇ f = f u , f v = ∂ f ∂ u , ∂ f ∂ v

E depois disso fazemos a derivada no ponto, ou seja,

∇ f z x , y x = ∂ f ∂ u z x , y x , ∂ f ∂ v z x , y x

Passo 6

Vamos fazer a derivada agora,

∂ ∂ x f z x , y x = ∂ f ∂ u z x , y x , ∂ f ∂ v z x , y x ∙ ∂ u ∂ y , ∂ v ∂ y

∂ ∂ x f z x , y x = ∂ f ∂ u z x , y x , ∂ f ∂ v z x , y x ∙ 0 , 1 x  

∂ ∂ x f z x , y x = 1 x ∂ f ∂ v z x , y x

Passo 7

Voltando para derivada

∂ w ∂ y = x 3 ∂ ∂ y f z x , y x = x 3 1 x ∂ f ∂ v z x , y x = x 2 ∂ f ∂ v z x , y x

Passo 8

Vamos agora para a derivada de z

∂ w ∂ z = x 3 ∂ ∂ z f z x , y x

Para achar a derivada temos primeiro que achar as derivadas da parametrização

∂ u ∂ z = 1 x

∂ v ∂ z = 0

Agora temos que achar o gradiente de f , ou seja,

∇ f = f u , f v = ∂ f ∂ u , ∂ f ∂ v

E depois disso fazemos a derivada no ponto, ou seja,

∇ f z x , y x = ∂ f ∂ u z x , y x , ∂ f ∂ v z x , y x

Passo 9

Vamos fazer a derivada agora,

∂ ∂ z f z x , y x = ∂ f ∂ u z x , y x , ∂ f ∂ v z x , y x ∙ ∂ u ∂ z , ∂ v ∂ z

∂ ∂ z f z x , y x = ∂ f ∂ u z x , y x , ∂ f ∂ v z x , y x ∙ 1 x , 0  

∂ ∂ z f z x , y x = 1 x ∂ f ∂ u z x , y x

Passo 10

Voltando para derivada

∂ w ∂ z = x 3 ∂ ∂ y f z x , y x = x 3 1 x ∂ f ∂ u z x , y x = x 2 ∂ f ∂ u z x , y x

Passo 11

-

Vamos lembrar de tudo aqui rapidinho, achamos as seguintes derivadas

∂ w ∂ x = 3 x 2 f z x , y x - z x ∂ f ∂ u z x , y x - y x ∂ f ∂ v z x , y x

∂ w ∂ y = x 2 ∂ f ∂ v z x , y x

∂ w ∂ z = x 2 ∂ f ∂ u z x , y x

Vamos substituir na equação que ele quer que verifique

x ∂ w ∂ x x , y , z + y ∂ w ∂ y x , y , z + z ∂ w ∂ z x , y , z

x 3 x 2 f z x , y x - z x ∂ f ∂ u z x , y x - y x ∂ f ∂ v z x , y x + y x 2 ∂ f ∂ v z x , y x + z x 2 ∂ f ∂ u z x , y x =

⇒ 3 x 3 f z x , y x - z x 2 ∂ f ∂ u z x , y x - y x 2 ∂ f ∂ v z x , y x + y x 2 ∂ f ∂ v z x , y x + z x 2 ∂ f ∂ u z x , y x =

⇒ 3 x 3 f z x , y x

Repara que isso é realmente 3 w x , y , z então está verificada a equação.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = r cos ⁡ θ e y = r sen ⁡ θ , (a) determine ∂ z / ∂ r e ∂ z / ∂ θ e (b) mostre que ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ r 2 +
Se z = f ( x , y ) , onde x = s + t e y = s - t , mostre que ∂ z ∂ x 2 - ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ s ∂ z ∂ t
Use a regra da cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t z = arcsin ⁡ x - y x = s 2 + t 2 y = 1 - 2 s t
Use a regra da cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t z = sin ⁡ θ ⋅ cos ⁡ ϕ θ = s t 2 ϕ = s 2 t
Se z = f x , y , onde f é diferenciável, e x = g t; y = h t g 3 = 2 ; h 3 = 7 g ' 3 = 5; h ' 3 = - 4 f x 2,7 = 6; f y 2,7 = - 8 Determine d z d t quando t = 3 .