Questão 2: Se g(t) , t ∈ R , é uma função de classe C^1 e definimos a função

h : R^2 → R

(x, y) → xy * sen(xy)

Determine se é verdadeira ou falsa a afirmativa de que, para todo ponto (x, y) do plano vale a seguinte relação entre as derivadas parciais de h :

x * (∂h/∂x)(x, y) - y * (∂h/∂y)(x, y) = 0

Passo 1

Aqui não tem muito mistério: é derivar e substituir! É claro que devemos tomar muito cuidado nas derivadas que são um pouco chatas de se fazer! Vamos nessa?

Passo 2

Vamos começar derivando com relação a x

h x ,   y = x y   g sin ⁡ x y

Aplicando a regra do produto...

∂ h ∂ x x ,   y = ∂ ∂ x x y   g sin ⁡ x y =

y   g sin ⁡ x y ∂ x ∂ x + x y   ∂ ∂ x g sin ⁡ x y

E aplicando a regra da cadeia...

∂ h ∂ x x ,   y = y   g sin ⁡ x y + x y cos ⁡ x y ⋅ ∂ x y ∂ x →

Chegaremos aqui:

∂ h ∂ x x ,   y = y   g sin ⁡ x y + x y 2 cos ⁡ x y

Passo 3

Now, vamos para a derivada com relação a y :

∂ h ∂ y x ,   y = ∂ ∂ y x y   g sin ⁡ x y =

x   g sin ⁡ x y ∂ y ∂ y + x y   ∂ ∂ y g sin ⁡ x y

∂ h ∂ y x ,   y = x   g sin ⁡ x y + x y   cos ⁡ x y ∂ x y ∂ y →

∂ h ∂ y x ,   y = x   g sin ⁡ x y + x 2 y   cos ⁡ x y

Passo 4

Agora é só substituir e simplificar...

x ∂ h ∂ x x ,   y - y ∂ h ∂ y x ,   y = 0   →

x y   g sin ⁡ x y + x y 2 cos ⁡ x y - y x   g sin ⁡ x y + x 2 y   cos ⁡ x y = 0   →

y x   g sin ⁡ x y + x 2 y 2 cos ⁡ x y - x y   g sin ⁡ x y + x 2 y 2   cos ⁡ x y = 0   →

Que nós vamos chegar à...

0 = 0

0 = 0 só pode significar uma coisa: funcionou e são iguais, logo de fato a igualdade é verdadeira !

Resposta

Sentença Verdadeira

Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

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Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f(x, y) , onde x = r * cos(θ) e y = r * sen(θ) , (a) determine ∂z/∂r e ∂z/∂θ e (b) mostre que ( ∂z/∂x )^2 + ( ∂z/∂y )^2 = ( ∂z/∂r )^2 + 1/r
Se z = f ( x , y ) , onde x = s + t e y = s - t , mostre que ∂ z ∂ x 2 - ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ s ∂ z ∂ t
Use a regra da cadeia para achar ∂z / ∂s e ∂z / ∂t z = sen(θ) ⋅ cos(ϕ) θ = s * t^2 ϕ = s^2 t
Use o diagrama em arvore para escrever a regra da cadeia para o caso dado. Assuma que todas as funções são diferenciáveis.w = f(x, y, z) Ondex = x(u, v) y = y(u, v) z = z(u, v)
O comprimento l , a largura w e a altura h de uma caixa variam com o tempo. Em um determinado momento, as dimensões são l = 1 m e w = h = 2 m , l e w estão aumentando em uma taxa de 2 * m / s enquanto