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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

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Enunciado

Questão 2: Se g t , t ∈ R , é uma função de classe C 1 e definimos a função

h : R 2 → R

x ,   y → x y   g sin ⁡ x y

Determine se é verdadeira ou falsa a afirmativa de que, para todo ponto x ,   y do plano vale a seguinte relação entre as derivadas parciais de h :

x ∂ h ∂ x x ,   y - y ∂ h ∂ y x ,   y = 0

Passo 1

Aqui não tem muito mistério: é derivar e substituir! É claro que devemos tomar muito cuidado nas derivadas que são um pouco chatas de se fazer! Vamos nessa?

Passo 2

Vamos começar derivando com relação a x

h x ,   y = x y   g sin ⁡ x y

Aplicando a regra do produto...

∂ h ∂ x x ,   y = ∂ ∂ x x y   g sin ⁡ x y =

y   g sin ⁡ x y ∂ x ∂ x + x y   ∂ ∂ x g sin ⁡ x y

E aplicando a regra da cadeia...

∂ h ∂ x x ,   y = y   g sin ⁡ x y + x y cos ⁡ x y ⋅ ∂ x y ∂ x →

Chegaremos aqui:

∂ h ∂ x x ,   y = y   g sin ⁡ x y + x y 2 cos ⁡ x y

Passo 3

Now, vamos para a derivada com relação a y :

∂ h ∂ y x ,   y = ∂ ∂ y x y   g sin ⁡ x y =

x   g sin ⁡ x y ∂ y ∂ y + x y   ∂ ∂ y g sin ⁡ x y

∂ h ∂ y x ,   y = x   g sin ⁡ x y + x y   cos ⁡ x y ∂ x y ∂ y →

∂ h ∂ y x ,   y = x   g sin ⁡ x y + x 2 y   cos ⁡ x y

Passo 4

Agora é só substituir e simplificar...

x ∂ h ∂ x x ,   y - y ∂ h ∂ y x ,   y = 0   →

x y   g sin ⁡ x y + x y 2 cos ⁡ x y - y x   g sin ⁡ x y + x 2 y   cos ⁡ x y = 0   →

y x   g sin ⁡ x y + x 2 y 2 cos ⁡ x y - x y   g sin ⁡ x y + x 2 y 2   cos ⁡ x y = 0   →

Que nós vamos chegar à...

0 = 0

0 = 0 só pode significar uma coisa: funcionou e são iguais, logo de fato a igualdade é verdadeira !

Resposta

Sentença Verdadeira

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Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = r cos ⁡ θ e y = r sen ⁡ θ , (a) determine ∂ z / ∂ r e ∂ z / ∂ θ e (b) mostre que ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ r 2 +
Se z = f ( x , y ) , onde x = s + t e y = s - t , mostre que ∂ z ∂ x 2 - ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ s ∂ z ∂ t
Use a regra da cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t z = arcsin ⁡ x - y x = s 2 + t 2 y = 1 - 2 s t
Use a regra da cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t z = sin ⁡ θ ⋅ cos ⁡ ϕ θ = s t 2 ϕ = s 2 t
Se z = f x , y , onde f é diferenciável, e x = g t; y = h t g 3 = 2 ; h 3 = 7 g ' 3 = 5; h ' 3 = - 4 f x 2,7 = 6; f y 2,7 = - 8 Determine d z d t quando t = 3 .