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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

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Enunciado

Teorema da função inversa e implícita

Seja g u , v = f ( x , y ) , onde x = x ( u , v ) e y = y ( u , v ) são dadas implicitamente por

u = x 2 + y 2 v = x y

a)Mostre que δ y δ u = - y x δ x δ u  

b)Suponha que x δ f δ x - y δ f δ y = 0 . Calcule δ g δ u .

Passo 1

a )

Nesse tipo de questão nem vale a penas ficar tentando colocar x e y em função de u e v – seria muito difícil! Por incrível que pareça, vale mais a pena cair na derivada implícita!

Como a primeira questão pede uma relação entre δ y δ u e δ x δ u , é uma ótima ideia começarmos derivando as funções u e v e ver o que conseguimos!

Passo 2

Para derivarmos a nossa função u basta seguir a regra da cadeia:

u = x 2 + y 2

Derivando em relação a u temos:

d u d u = 2 x δ x δ u + 2 y δ y δ u

1 = 2 x δ x δ u + 2 y δ y δ u

Passo 3

Agora vamos derivar a função de baixo em relação a u

v = x y

d v d u = y δ x δ u + x δ y δ u

0 = y δ x δ u + x δ y δ u

Aqui o que fizemos foi usar a regra da cadeia para o produto de x e y . Primeiro derivamos x , o que dá 1. Depois derivamos x em relação a u (regra da cadeia). Até aí temos 1   . δ x δ u . Pela regra do produto, temos que pegar a derivada do primeiro termo e mutiplicar pelo segundo, então, o primeiro termo ficou y δ x δ u . Depois, fizemos o mesmo para o y ! Derivamos ele, multiplicamos pela sua derivada em relação a u e depois pelo outro termo, que é o x .

Derivamos em relação a u porque o enunciado pediu uma relação entre as derivadas de x e de y em relação a u , por isso não faz sentido querer derivar em relação a alguma outra variável

Passo 4

Agora que temos as duas expressões das derivadas em relação a u :

1 = 2 x δ x δ u + 2 y δ y δ u 0 = y δ x δ u + x δ y δ u

A equação de cima não parece nos ajudar muito, porque o lado esquerdo dela vale 1. Mas...

da equação de baixo, temos

x δ y δ u = - y δ x δ u

Então, ela já mata a letra a ! É só passarmos o x pro lado direito. Olha só:

x δ y δ u = - y δ x δ u

vira

δ y δ u = - y x δ x δ u

Passo 5

b )

Vasmo fazer a derivada de g em relação a u . Repara que a função g na verdade é composta de duas funções, umas que é a função f e outra que da os valores das suas componentes, ou seja, uma função ϕ

ϕ u , v = x u , v , y u , v

E a função f vai ser

g = f ∘ ϕ

Passo 6

Para fazermos sua derivada precisamos achar a derivada da parametrização em função de u primeiro.

∂ ϕ ∂ u = δ x δ u , δ y δ u

Agora vamos fazer o vetor gradiente da função f

∇ f = δ f δ x , δ f δ y

A derivada de g em relação a u vai ser

δ g δ u = ∇ f ∙ δ ϕ δ u

δ g δ u = δ f δ x , δ f δ y ∙ δ x δ u , δ y δ u

δ g δ u = δ f δ x δ x δ u + δ f δ y δ y δ u

Passo 7

Lembra o que achamos na letra a ?

δ y δ u = - y x δ x δ u

Substituindo isso na equação vamos ter

δ g δ u = δ f δ x δ x δ u + δ f δ y - y x δ x δ u

δ g δ u = δ f δ x δ x δ u - y x δ f δ y δ x δ u

Vamos por δ x δ u em evidência

δ g δ u = δ x δ u δ f δ x - y x δ f δ y

Isso está bem parecido com que ele disse no enunciado né? Ele disse que

x δ f δ x - y δ f δ y = 0

Se colocarmos o x em evidência

x δ f δ x - y x δ f δ y = 0

Vamos ter

δ f δ x - y x δ f δ y = 0

Substituindo isso na derivada de g em relação a u

δ g δ u = δ x δ u . 0 = 0

Resposta

  1. δ g δ u = 0

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Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = r cos ⁡ θ e y = r sen ⁡ θ , (a) determine ∂ z / ∂ r e ∂ z / ∂ θ e (b) mostre que ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ r 2 +
Se z = f ( x , y ) , onde x = s + t e y = s - t , mostre que ∂ z ∂ x 2 - ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ s ∂ z ∂ t
Use a regra da cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t z = arcsin ⁡ x - y x = s 2 + t 2 y = 1 - 2 s t
Use a regra da cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t z = sin ⁡ θ ⋅ cos ⁡ ϕ θ = s t 2 ϕ = s 2 t
Se z = f x , y , onde f é diferenciável, e x = g t; y = h t g 3 = 2 ; h 3 = 7 g ' 3 = 5; h ' 3 = - 4 f x 2,7 = 6; f y 2,7 = - 8 Determine d z d t quando t = 3 .