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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

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Enunciado

UFSC, Joinville, Cálculo II, P2 - 2022.2, Questão 5

5. Dada uma função diferenciável f : R 3 → R tal que ∂ f ∂ x x , y , z = y z , ∂ f ∂ y x , y , z = x z e ∂ f ∂ z x , y , z = x y . Sabendo que x = t 2 , y = ln ⁡ t e z = e 2 t , calcule d f d t para t = 2 .

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está um pouco complicada essa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema queremos obter d f d t para t = 2 , porém f é definido no domínio de x , y , z e em que ∂ f ∂ x x , y , z = y z , ∂ f ∂ y x , y , z = x z e ∂ f ∂ z x , y , z = x y . Porém, para nos ajudar, foi dado que x = t 2 , y = ln ⁡ t e z = e 2 t .

Tem alguma ideia do que podemos fazer? 🤔

A função f é uma função composta de t então para obter a derivada de f em função de t temos que aplicar a regra da cadeia.

Para o caso em que f é definida em três outras funções de t , no caso, x , y e z , a derivada de f a partir da regra da cadeia é dada pela soma das aplicações da regra da cadeia de função, ou seja

d f d t = ∂ f ∂ x · d x d t + ∂ f ∂ y · d y d t + ∂ f ∂ z · d z d t

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

As derivadas parciais de f com relação a x , y e z foram dadas no enunciado então podemos substituí-las diretamente

d f d t = y z · d x d t + x z · d y d t + x y · d z d t

Porém, x = t 2 , y = ln ⁡ t e z = e 2 t , então

d f d t = ln ⁡ t e 2 t · d t 2 d t + t 2 e 2 t · d ln ⁡ t d t + t 2 ln ⁡ t · d e 2 t d t

Calculando as derivadas de t , temos

d f d t = ln ⁡ t e 2 t · 2 t + t 2 e 2 t · 1 t + t 2 ln ⁡ t · 2 e 2 t

d f d t = 2 t e 2 t ln ⁡ t + t e 2 t + 2 e 2 t t 2 ln ⁡ t

Substituindo t por 2 , chegamos em

d f d t = 2 2 e 2 2 ln ⁡ 2 + 2 e 2 2 + 2 e 2 2 2 2 ln ⁡ 2

d f d t = 4 e 4 ln ⁡ 2 + 2 e 4 + 8 e 4 ln ⁡ 2

d f d t = 12 e 4 ln ⁡ 2 + 2 e 4

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

d f d t = 12 e 4 ln ⁡ 2 + 2 e 4

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Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = r cos ⁡ θ e y = r sen ⁡ θ , (a) determine ∂ z / ∂ r e ∂ z / ∂ θ e (b) mostre que ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ r 2 +
Se z = f ( x , y ) , onde x = s + t e y = s - t , mostre que ∂ z ∂ x 2 - ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ s ∂ z ∂ t
Use a regra da cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t z = arcsin ⁡ x - y x = s 2 + t 2 y = 1 - 2 s t
Use a regra da cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t z = sin ⁡ θ ⋅ cos ⁡ ϕ θ = s t 2 ϕ = s 2 t
Se z = f x , y , onde f é diferenciável, e x = g t; y = h t g 3 = 2 ; h 3 = 7 g ' 3 = 5; h ' 3 = - 4 f x 2,7 = 6; f y 2,7 = - 8 Determine d z d t quando t = 3 .