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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

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Enunciado

Funções de Várias Variáveis, Derivadas Parciais e o Vetor Gradiente, Regra da Cadeia

Seja f : R 2 → R uma função de classe C 2 em R 2 e considere a função g : R 2 → R dada por

g s , t = s f 3 s 2 + t 2 ,   - s + 2 t .

a) Determine, em função das derivadas parciais de f , as derivadas δ g δ s s , t e δ δ s δ g δ t s , t .

b) Calcule δ 2 g δ t δ s - 1,1 , sabendo que

∇ f 4,3 = 3 2 , 4 2 ,       δ 2 f δ x 2 4,3 = 2 ,       δ 2 f δ y 2 4,3 = 1 ,       e     δ 2 f δ x δ y 4,3 = - 4  

Passo 1

a) Nossa, essa vai ser grande... prepare-se! Para calcular δ g δ s s , t , basta usarmos a regra do produto, fazendo a “derivada do primeiro vezes o segundo, mais a derivada do segundo vezes o primeiro”. Para simplificar a historia, usemos que x s , t = 3 s 2 + t 2 e y s , t = - s + 2 t :

δ g δ s s , t = 1 . f x , y + s . δ f δ x x , y   . δ x δ s s , t + δ f δ y x , y   . δ y δ s s , t

Ajeitando a casa,

δ g δ s s , t = f 3 s 2 + t 2 ,   - s + 2 t + s . 6 s . δ f δ x 3 s 2 + t 2 ,   - s + 2 t - 1 . δ f δ y 3 s 2 + t 2 ,   - s + 2 t  

E pronto, primeira parte cumprida :]

Passo 2

Vamos agora calcular a derivada δ g δ t :

δ g δ t s , t = s . δ f δ x x , y   . δ x δ t s , t + δ f δ y x , y   . δ y δ t s , t

Ajeitando a casa,

δ g δ t s , t = s . 2 t . δ f δ x 3 s 2 + t 2 ,   - s + 2 t + 2 . δ f δ y 3 s 2 + t 2 ,   - s + 2 t  

Agora a tarefa é derivar essa δ g δ t em relação a s ! Pronto(a)?

Partiu usar a regra do produto e a regra da cadeia de novo!

δ δ s δ g δ t s , t = δ δ s s . 2 t . δ f δ x x ( s , t ) , y ( s , t ) + 2 . δ f δ y x ( s , t ) , y ( s , t )  

Pela regra do produto:

δ δ s δ g δ t s , t = 2 t . δ f δ x x ( s , t ) , y ( s , t ) + 2 . δ f δ y x ( s , t ) , y ( s , t )   + s . δ δ s 2 t . δ f δ x x ( s , t ) , y ( s , t ) + 2 . δ f δ y x ( s , t ) , y ( s , t )   ⏟ R e g r a   d a   c a d e i a

Vamos calcular aquele monstrinho com a regra da cadeia???

Passo 3

Vamos calcular então aquela parcela da soma:

δ δ s 2 t . δ f δ x x ( s , t ) , y ( s , t ) + 2 . δ f δ y x ( s , t ) , y ( s , t )  

Fazendo a distributiva,

2 t . δ δ s δ f δ x x s , t , y s , t + 2 . δ δ s δ f δ y x s , t , y s , t

Para o termo δ δ s δ f δ x x s , t , y s , t , nós temos pela regra da cadeia:

δ δ s δ f δ x x s , t , y s , t = δ 2 f δ x 2 x s , t , y s , t . δ x δ s + δ 2 f δ y δ x x s , t , y s , t . δ y δ s

Igualmente para o termo δ δ s δ f δ y x s , t , y s , t , usaremos a regra da cadeia:

δ δ s δ f δ y x s , t , y s , t = δ 2 f δ x δ y x s , t , y s , t . δ x δ s + δ 2 f δ y 2 x s , t , y s , t . δ y δ s

Passo 4

Retornando ao nosso monstrinho:

δ δ s δ g δ t s , t = 2 t . δ f δ x x ( s , t ) , y ( s , t ) + 2 . δ f δ y x ( s , t ) , y ( s , t )   + s . δ δ s 2 t . δ f δ x x ( s , t ) , y ( s , t ) + 2 . δ f δ y x ( s , t ) , y ( s , t )   ⏟ R e g r a   d a   c a d e i a

Vamos substituir o termo que calculamos usando a regra da cadeia:

δ δ s δ g δ t s , t = 2 t . δ f δ x x ( s , t ) , y ( s , t ) + 2 . δ f δ y x ( s , t ) , y ( s , t )   + s . 2 t . δ 2 f δ x 2 x s , t , y s , t . δ x δ s + δ 2 f δ y δ x x s , t , y s , t . δ y δ s + 2 . δ 2 f δ x δ y x s , t , y s , t . δ x δ s + δ 2 f δ y 2 x s , t , y s , t . δ y δ s

BIRLLLLL....O monstrinho virou monstrão!!!

Passo 5

Colocando os valores de δ x δ t s , t e δ y δ t s , t no nosso Monstro, temos:

δ δ s δ g δ t s , t = 2 t . δ f δ x x ( s , t ) , y ( s , t ) + 2 . δ f δ y x ( s , t ) , y ( s , t )   + s . 2 t . δ 2 f δ x 2 x s , t , y s , t . 6 s - δ 2 f δ y δ x x s , t , y s , t + 2 . δ 2 f δ x δ y x s , t , y s , t . 6 s - δ 2 f δ y 2 x s , t , y s , t

Como δ f δ x δ y = δ f δ y δ x (lembre-se que f é uma função de classe C 2 ),

δ δ s δ g δ t s , t = 2 t . δ f δ x x ( s , t ) , y ( s , t ) + 2 . δ f δ y x ( s , t ) , y ( s , t )   + 12 t s 2 δ 2 f δ x 2 x s , t , y s , t - 2 s t δ 2 f δ x δ y x s , t , y s , t + 12 s 2 δ 2 f δ x δ y x s , t , y s , t - 2 s . δ 2 f δ y 2 x s , t , y s , t

Deixando esse Monstro mais “apresentável”:

δ δ t δ g δ s s , t = 2 t . δ f δ x x , y + 2 . δ f δ y x , y + 12 s 2 t . δ 2 f δ x 2 x , y + 12 s 2 - 2 s t . δ 2 f δ x δ y x , y - 2 s δ 2 f δ y 2 x , y

Passo 6

Ufa! Depois disso ainda tem mais coisa, meu Deus.... Pelo menos, ao que parece, é só substituir número! Como δ 2 g δ t δ s - 1,1 = δ 2 g δ s δ t - 1,1 , e esse segundo já calculamos para um ponto genérico s , t , basta pegarmos os dados do enunciado e substituir!

δ δ t δ g δ s 1,1 = 2.1 . δ f δ x x , y + 2 . δ f δ y x , y + 12 . - 1 2 . 1 . δ 2 f δ x 2 x , y + 12 . - 1 2 - 2 . - 1.1 . δ 2 f δ x δ y x , y - 2 . - 1 δ 2 f δ y 2 x , y

Aqui já substituímos o ponto 1,1 . Agora, vamos pegar os dados do enunciado e jogar onde aparecer! Lembrando que o vetor gradiente é formado pelas primeiras derivadas da função em questão, ou seja, a primeira coordenada é f x e a segunda, f y :

δ δ t δ g δ s 1,1 = 2.1 . 3 2 + 2.4 2 + 12 . - 1 2 . 1.2 + 12 . - 1 2 - 2 . - 1.1 . - 4 - 2 . - 1.1

δ δ t δ g δ s 1,1 = 14 2 - 30

Resposta

a) δ δ t δ g δ s s , t = 2 t . δ f δ x x , y + 2 . δ f δ y x , y + 12 s 2 t . δ 2 f δ x 2 x , y + 12 s 2 - 2 s t . δ 2 f δ x δ y x , y - 2 s δ 2 f δ y 2 x , y

b)   δ δ s δ g δ t 1,1 = δ δ t δ g δ s 1,1 = 14 2 - 30

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = r cos ⁡ θ e y = r sen ⁡ θ , (a) determine ∂ z / ∂ r e ∂ z / ∂ θ e (b) mostre que ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ r 2 +
Se z = f ( x , y ) , onde x = s + t e y = s - t , mostre que ∂ z ∂ x 2 - ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ s ∂ z ∂ t
Use a regra da cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t z = arcsin ⁡ x - y x = s 2 + t 2 y = 1 - 2 s t
Use a regra da cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t z = sin ⁡ θ ⋅ cos ⁡ ϕ θ = s t 2 ϕ = s 2 t
Se z = f x , y , onde f é diferenciável, e x = g t; y = h t g 3 = 2 ; h 3 = 7 g ' 3 = 5; h ' 3 = - 4 f x 2,7 = 6; f y 2,7 = - 8 Determine d z d t quando t = 3 .