37. Um cilindro uniforme de raio R e massa M tem um fio enrolado sobre a sua superfície. O disco é solto do repouso com o fio vertical e com sua extremidade superior presa a uma barra fixa.

(d) Verifique a resposta anterior utilizando o enfoque da energia.

Passo 1

E aí! Suave na nave?! Tá difícil essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!

Nesse problema temos um cilindro de raio R e massa M que é enrolado por um fio e solto para cair devido a ação da gravidade sendo a outra extremidade do fio presa em um lugar fixo.

Com isso queremos descobrir qual é o modulo da velocidade do centro de massa do cilindro quando ele começar a se desenrolar e atinge um comprimento h utilizando a ideia de conservação de energia.

Tem ideia do que fazer? 👀

Anteriormente calculamos a aceleração do centro de massa e a velocidade do cilindro a partir da segunda lei de Newton e da equação de Torricelli.

A força de tração e a força gravitacional resulta em uma aceleração de

a = 2 3 g

Já a velocidade foi obtida como

v = 4 3 g h

Aplicando a lei da conservação de energia temos que obter o mesmo resultado para v .

Bora ver como fazemos isso! 😉

Passo 2

A lei da conservação de energia diz que a energia inicial de um sistema sem perdas é igual a energia final.

E i = E f

Inicialmente o cilindro não possui velocidade, mas possui energia potencial gravitacional, ou seja

E i = M g h

Já no instante final o cilindro não possui energia potencial, mas possui energia cinética de translação e de rotação

E f = M v 2 2 + I ω 2 2

Podemos reescrever ω como a relação entre a velocidade tangencial (que é a mesma que a velocidade do centro de massa) e o raio R

ω = v R

Substituindo em E f

E f = M v 2 2 + I v R 2 2

E f = M v 2 2 + I v 2 2 R 2

Podemos escrever o momento de inercia do cilindro como I = M R 2 2

E f = M v 2 2 + M R 2 2 v 2 2 R 2

E f = M v 2 2 + M v 2 4

E f = 3 M v 2 4

Aplicando a conservação de energia fazendo E i = E f

M g h = 3 M v 2 4

Simplificando e isolando v , chegamos em

g h = 3 v 2 4

v 2 = 4 g h 3

v = 4 g h 3

O que achou? Foi de boa? Responde aí! 😊

Resposta

v = 4 g h 3

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