3.4) Uma bobina A de N A espiras, raio r A , resistência R , e comprimento L é coaxial com

outra bobina B de mesmo comprimento L , mas com N B espiras e raio r B < r A . Através da bobina B passa uma corrente que varia com o tempo como i B t = i 0 c o s ω t . Calcule:

(a) A força eletromotriz induzida na bobina A em função do tempo.

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Esse problema é bem louco, temos um solenoide B dentro de outro solenoide A que possui uma resistência R e no solenoide interno flui uma corrente i B t = i 0 c o s ω t e nosso objetivo é obter a tensão induzida no solenoide maior A .

Tem alguma ideia do que fazer? 🤔🤔

Para obter a tensão desse problema, podemos aplicar a lei de Faraday que nos diz que a tensão induzida é dada pela variação do fluxo magnético, ou seja

F e m = - d λ d t

Sacou? Bora começar! 😊

Passo 2

Temos que obter uma relação entre o fluxo λ e a corrente i B para derivar com relação a t .

Sabemos que λ = B A onde B é o campo magnético e A a área do fluxo. Substituindo em F e m

F e m = - d B A d t

Podemos definir a área A como a área circular que engloba o solenoide B de raio r B . Sabemos que a área de um círculo é dado por

A = π r 2

Como r = r B no caso, então

F e m = - d B π r B 2 d t

Já aqui, podemos relacionar B com I B através da lei de Biot-Savart para solenoides que diz

B = ∫ i μ 0 4 π · d l × r r 2

Ou simplesmente

B = μ 0 N i L = μ 0 N B i B L

Como o solenoide B está dentro do solenoide A , multiplicamos o campo B pelo número de espiras em A

B = N A μ 0 N B i B L

Substituindo em F e m

F e m = - d N A μ 0 N B i B L π r B 2 d t

F e m = - d π μ 0 N A N B i B r B 2 L d t

Tranquilo até aqui? 😎

Passo 3

Substituindo i B por i 0 c o s ω t e derivando com relação a t

F e m = - d π μ 0 N A N B i 0 c o s ω t r B 2 L d t

F e m = - π μ 0 N A N B i 0 r B 2 L d i 0 c o s ω t d t

Pelo teorema fundamental do cálculo e pela regra da cadeia...

F e m = - π μ 0 N A N B i 0 r B 2 L i 0 ω s e n ω t

F e m = - π μ 0 N A N B i 0 r B 2 ω s e n ω t L

Podemos desconsiderar o sinal negativo do resultado pois ele só nos diz a respeito da polaridade da tensão, o que não é importante no memento...

F e m = π μ 0 N A N B i 0 r B 2 ω s e n ω t L

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

F e m = π μ 0 N A N B i 0 r B 2 ω s e n ω t L

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