Um cilindro oco de comprimento L , raio interno a e raio externo b é feito de um material de resistividade ρ . As paredes internas e externa desse cilindro são metalizadas. Supondo que ρ seja muito maior que a resistividade do metal depositado, calcule a resistência elétrica entre as paredes interna e externa.

Passo 1

Fala gente bonita, tudo bom com vocês?

Nessa questão temos um cilindro oco de raio interno a e raio externo b . Essa casca cilíndrica é feita de um material de resistividade ρ . Sem mais delongas, o enunciado nos pede para calcular a dessa casca cilíndrica.

Esse é um problema clássico pra nossa querida 2 ° Lei de Ohm. Segundo ela, a resistência de um material é dada por:

R = ρ l A

onde ρ é a resistividade do material, l é o comprimento e A a área da secção transversal.

O grande problema aqui é que como temos um resistor cilíndrico, cada vez que mudamos o comprimento l , também mudamos a distância pro eixo do cilindro, e consequentemente mudamos a área da secção transversal.

Assim, pra calcular essa resistência R precisamos considerar pequenos segmentos d l e integrar de 0 até b - a .

Vem comigo que vai ficar bem clarinho 😊

Passo 2

Bom, vamos imaginar que estamos dividindo a nossa casca cilíndrica em várias cascas cilíndricas beeeeem fininhas com espessura d l e distância até o centro valendo:

d = a + l

Assim, podemos dizer que a resistência d R dessa casquinha vale:

d R = ρ d l 2 π a + l L

Assim, para obter a resistência total do cilindro oco precisamos apenas integrar dos dois lados, com l variando de 0 até b - a , que é a espessura da casca cilíndrica total.

Logo:

R = ∫ 0 b - a ρ 2 π a + l L d l

Colocando as constantes pra fora:

R = ρ 2 π L ⋅ ∫ 0 b - a 1 a + l d l

Fazendo a seguinte mudança de variáveis:

a + l = r

d l = d r

E, ajeitando os limites de integração, temos:

R = ρ 2 π L ⋅ ∫ a b 1 r d r

Resolvendo a integral:

R = ρ 2 π L ⋅ ln ⁡ r a b

= ρ 2 π L ln ⁡ b - ln ⁡ a

Portanto:

R = ρ 2 π L ⋅ ln ⁡ b a

Uhuul! Conseguimos determinar a resistência desse cilindro oco diferenciado.

Muito obrigado pela atenção, pessoal. Até a próxima!!

Tchauzinhooo 😉

Resposta

R = ρ 2 π L ⋅ ln ⁡ b a

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