UFMG, Sem Campus, Fundamentos de Eletromagnetismo, Listas de Eletromagnetismo - UFMG - Lista de Fundamentos de Eletromagnetismo, Questão 2.1
Um cilindro oco de comprimento raio interno e raio externo é feito de um material de resistividade . As paredes internas e externa desse cilindro são metalizadas. Supondo que seja muito maior que a resistividade do metal depositado, calcule a resistência elétrica entre as paredes interna e externa.
Passo 1
Fala gente bonita, tudo bom com vocês?
Nessa questão temos um cilindro oco de raio interno e raio externo . Essa casca cilíndrica é feita de um material de resistividade . Sem mais delongas, o enunciado nos pede para calcular a dessa casca cilíndrica.
Esse é um problema clássico pra nossa querida Lei de Ohm. Segundo ela, a resistência de um material é dada por:
onde é a resistividade do material, é o comprimento e a área da secção transversal.
O grande problema aqui é que como temos um resistor cilíndrico, cada vez que mudamos o comprimento , também mudamos a distância pro eixo do cilindro, e consequentemente mudamos a área da secção transversal.
Assim, pra calcular essa resistência precisamos considerar pequenos segmentos e integrar de até .
Vem comigo que vai ficar bem clarinho 😊
Passo 2
Bom, vamos imaginar que estamos dividindo a nossa casca cilíndrica em várias cascas cilíndricas beeeeem fininhas com espessura e distância até o centro valendo:
Assim, podemos dizer que a resistência dessa casquinha vale:
Assim, para obter a resistência total do cilindro oco precisamos apenas integrar dos dois lados, com variando de até , que é a espessura da casca cilíndrica total.
Logo:
Colocando as constantes pra fora:
Fazendo a seguinte mudança de variáveis:
E, ajeitando os limites de integração, temos:
Resolvendo a integral:
Portanto:
Uhuul! Conseguimos determinar a resistência desse cilindro oco diferenciado.
Muito obrigado pela atenção, pessoal. Até a próxima!!
Tchauzinhooo 😉