UFMG, Sem Campus, Fundamentos de Eletromagnetismo, Listas de Eletromagnetismo - UFMG - Lista de Fundamentos de Eletromagnetismo, Questão 2.1
Uma esfera oca de raio interno e raio externo é feita de um material de resistividade . As paredes internas e externa dessa esfera são metalizadas. Supondo que seja muito maior que a resistividade do metal depositado, calcule a resistência elétrica entre as paredes interna e externa.
Passo 1
E aí galerinha do bem, como é que vocês estão?
Nessa questão temos uma casca esférica de raio interno e raio externo . Essa casca esférica é feita de um material com resistividade . Sem mais delongas, o enunciado nos pede para calcular a resistência dessa casca esférica.
Esse é um problema clássico pra nossa querida Lei de Ohm. Segundo ela, a resistência de um material é dada por:
onde é a resistividade do material, é o comprimento e a área da secção transversal.
O grande problema aqui é que como temos um resistor esférico, cada vez que mudamos o comprimento , também mudamos a distância pro centro da esfera oca, e consequentemente mudamos a área da secção transversal.
Assim, pra calcular essa resistência precisamos considerar pequenos segmentos e integrar de até .
Vem comigo que vai ficar bem clarinho 😊
Passo 2
Bom, vamos imaginar que estamos dividindo a nossa casca esférica em várias cascas esféricas beeeeem fininhas com espessura e distância até o centro valendo:
Assim, podemos dizer que a resistência dessa casquinha vale:
Assim, para obter a resistência total da esfera oca precisamos apenas integrar dos dois lados, com variando de até , que é a espessura da casca esférica total.
Logo:
Colocando a constante pra fora:
Fazendo a seguinte mudança de variável:
Ajeitando os limites de integração e substituindo na integral, vem que:
Portanto:
Prontinho pessoal! Essa é a resistência da esfera oca pedida no enunciado!
E aí, curtiram a solução? Responde Aí!