9) Uma esfera de raio 2 a não condutora tem carga uniformemente distribuída em seu volume, com densidade ρ . Todavia, a esfera não é completamente maciça, pois há uma cavidade esférica de raio a , como indicado na figura. Calcule o campo elétrico no interior da cavidade. Dica: A cavidade pode ser descrita pela superposição de densidades de carga positiva e negativa. Obtenha o campo gerado por cada densidade e explore o Princípio de Superposição.

Passo 1

Suave na nave?! Tá complicada essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!

Temos uma esfera não condutora de raio 2 a que possui uma distribuição uniforme de carga ρ , porém, dentro dessa esfera há um buraco vazio de raio a . Nessa situação, queremos saber qual é o campo elétrico no interior do buraco.

Tem alguma ideia de como resolvemos isso? 🤔

Podemos usar a lei de Gauss, ou seja

∮ E d S = q e n v ϵ 0

Além disso, para resolver esse problema, podemos considerar que o buraco dentro da esfera é uma esfera carregada com densidade ρ

Bem tranquilo né? 😁

Passo 2

Como o campo E é constante (já que a distribuição de cargas é uniforme), podemos tira-lo da integral

E ∮ d S = q e n v ϵ 0

Assim, a integral ∮ d S nada mais é que a área a superfície esférica do buraco, ou seja

∮ d S = 4 π a 2

Substituindo na lei de Gauss

E 4 π a 2 = q e n v ϵ 0

E = q e n v 4 π a 2 ϵ 0

Entendeu essa parte? 😁

Passo 3

Por fim, temos que obter a carga fictícia do nosso buraco. Como pelo princípio da superposição ele possui um uma densidade volumétrica de cargas, temos

ρ = d q d V → d q = ρ d V

Assim integrando nos dois lados e sabendo que ρ é constante, vamos obter

∫ d q = ∫ ρ d V

q e n v = ρ ∫ d V

q e n v = ρ V b u r a c o

Agora, como o buraco é uma esfera de raio a , V b u r a c o será dado por

V b u r a c o = 4 3 π a 2

q e n v = ρ 4 3 π a 2

Substituindo na equação do campo elétrico, temos

E = q e n v 4 π a 2 ϵ 0 = ρ 4 3 π a 2 4 π a 2 ϵ 0

E = ρ a 3 ϵ 0

E → = ρ a 3 ϵ 0 r ^

O que achou? Foi de boa? Responde aí! 😊

Resposta

E → = ρ a 3 ϵ 0 r ^

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