8) Um fio isolante muito longo (cor laranja) é colocado sobre o eixo de um cilindro metálico oco (cor azul), também muito longo. A densidade linear de carga do fio é λ , enquanto a densidade de carga por unidade de comprimento do cilindro é 2 λ . (b) O campo elétrico no exterior do cilindro à distância r de seu eixo.

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nessa questão temos um fio infinito de densidade de carga λ por unidade de comprimento e envolta do fio há um cilindro oco também infinito com raio interno a e raio externo b e densidade de carga 2 λ por unidade de comprimento.

Com essa situação, queremos obter o campo elétrico um ponto externo ao cilindro a uma distância r .

E aí, parece complicado? 🤔

Para resolver esse problema, vamos aplicar a lei de Gauss que diz que a integral fechada de E em uma superfície é igual a quantidade de carga q dividido por ϵ 0 , ou seja

∮ E d S = q e n v ϵ 0

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 2

Como o campo E é uniforme, podemos tirá-lo da integral

E ∮ d S = q e n v ϵ 0

Assim, ∮ d S é a área da nossa superfície gaussiana, ou seja, um cilindro de raio r que envolve o sistema fio-cilindro.

A área desse cilindro gaussiano nada mais é que 2 π r L , onde L é uma unidade de comprimento

E 2 π r L = q e n v ϵ 0

E = q e n v 2 π r L ϵ 0

Agora, a carga envolvida q e n v é dada por

λ t o t a l = d q d l → d q = λ t o t a l d l

Integrando nos dois lados entre 0 e L , temos

∫ 0 L d q = ∫ 0 L λ t o t a l d l

q e n v = λ t o t a l L

Como vimos no item a), a densidade de carga por unidade de comprimento é λ t o t a l = λ b + λ a + λ , ou seja

λ t o t a l = λ b + λ a + λ

λ t o t a l = 3 λ - λ + λ

λ t o t a l = 3 λ

Portanto, a carga envolvida é

q e n v = 3 λ L

Substituindo em E

E = 3 λ L 2 π r L ϵ 0

E → = 3 λ 2 π r ϵ 0 r ^

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

E → = 3 λ 2 π r ϵ 0 r ^

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