3.7) Um solenoide longo de raio R cria um campo magnético homogêneo em seu interior, o qual varia no tempo na forma B t = a t , onde a é uma constante. Calcule a intensidade do

campo elétrico induzido a uma distância r do eixo do solenoide e desenhe as linhas de força

do campo elétrico induzido.

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nessa questão temos um solenoide de raio R que produz um campo magnético variável B t = a t . Nossa tarefa é obter o campo elétrico a qualquer distância r do eixo central do solenoide e também desenhar as linhas de campo elétrico induzido.

Como vamos fazer isso? 🤔

Para nos ajudar nesse problema, podemos aplicar a lei de Faraday para campos elétricos e magnéticos...

f e m = - d ϕ d t = ∮ E → · d l →

Podemos incluir o campo magnético B nessa equação a partir do fluxo ϕ que é dado por

ϕ = ∫ B d A

Resultando em

- d ∫ B d A d t = ∮ E → · d l →

Legal, né? 😁

Passo 2

Vamos ter que separar o campo em duas partes, primeiro quando r < R e depois como r > R , isso porque o comportamento do campo B �� completamente diferente em cada um dos casos.

Vamos começar para r < R .

B não depende da área, portanto podemos tirá-lo da integral assim como E

- d B ∫ d A d t = E ∮ d l

Assim, a integral ∫ d A seria a área da circunferência de raio r qualquer e ∮ d l o comprimento dessa circunferência.

- d B π r 2 d t = E 2 π r

- π r 2 d B d t = 2 π r E

Simplificando e substituindo B por B t = a t ...

- r d a t d t = 2 E

- r a = 2 E

E r < R = r a 2

Entendeu essa parte? 👀

Passo 3

Agora vamos fazer o mesmo para r > R

- d B ∫ d A d t = E ∮ d l

A diferença é que agora ∫ d A terá o raio R enquanto ∮ d l terá o mesmo raio r já que fora do solenoide o campo magnético é nulo.

- d B π R 2 d t = E 2 π r

- π R 2 d B d t = E 2 π r

Simplificando e substituindo B novamente...

- R 2 d a t d t = E 2 r

- R 2 a = E 2 r

E r > R = a R 2 2 r

E por fim, desenhando as linhas de campo elétrico do sistema, temos que como B e E seguem a regra da mão direita, então o campo elétrico aponta para a espira.

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

E r < R = r a 2

E r > R = a R 2 2 r

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